WikiDer > Теорема Островского - Википедия

В теория чисел, Теорема Островского, из-за Александр Островский (1916), утверждает, что каждый нетривиальный абсолютная величина на рациональное число ${ displaystyle mathbb {Q}}$ эквивалентен либо обычному действительному абсолютному значению, либо п-адический абсолютная величина.^[1]

Определения

Поднимая абсолютная величина в степень меньше 1 всегда приводит к другому абсолютному значению. Два абсолютных значения ${ displaystyle | cdot |}$ и ${ displaystyle | cdot | _ {*}}$ на поле K определены как эквивалент если существует настоящий номер c > 0 такой, что

${ displaystyle forall x in K: quad | x | _ {*} = | x | ^ {c}.}$

В тривиальная абсолютная величина на любом поле K определяется как

${ displaystyle | x | _ {0}: = { begin {cases} 0 & x = 0, 1 & x neq 0. end {ases}}}$

В реальная абсолютная величина на рациональные ${ displaystyle mathbb {Q}}$ это стандарт абсолютная величина на реальные, определенные как

${ displaystyle | x | _ { infty}: = { begin {cases} x & x geq 0, - x & x <0. end {cases}}}$

Иногда это пишется с нижним индексом 1 вместо бесконечности.

Для простое число п, то п-адическое абсолютное значение на ${ displaystyle mathbb {Q}}$ определяется следующим образом: любое ненулевое рациональное Икс можно записать однозначно как ${ displaystyle x = p ^ {n} { tfrac {a} {b}}}$, куда а и б взаимно простые целые числа, не делящиеся на п, и п целое число; поэтому мы определяем

${ displaystyle | x | _ {p}: = { begin {cases} 0 & x = 0, p ^ {- n} & x neq 0. end {ases}}}$

Доказательство

Эта секция не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. (июнь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рассмотрим нетривиальную абсолютную величину рациональных чисел ${ Displaystyle ( mathbb {Q}, | cdot | _ {*})}$. Мы рассматриваем два случая:

${ Displaystyle { begin {align} (1) quad exists n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} &> 1, (2) quad forall n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} & leq 1. конец {выровнено}}}$

Нам достаточно рассмотреть оценку целых чисел больше единицы. Ибо, если мы найдем ${ displaystyle c in mathbb {R} _ {+}}$ для которого ${ displaystyle | n | _ {*} = | n | _ {**} ^ {c}}$ для всех натуральных чисел, больших единицы, то это соотношение тривиально выполняется для 0 и 1, а для положительных рациональных чисел

${ displaystyle left | { frac {m} {n}} right | _ {*} = { frac {| m | _ {*}} {| n | _ {*}}} = { frac {| m | _ {**} ^ {c}} {| n | _ {**} ^ {c}}} = left ({ frac {| m | _ {**}} {| n | _ {**}}} right) ^ {c} = left | { frac {m} {n}} right | _ {**} ^ {c},}$

и для отрицательных рациональных

${ displaystyle | -x | _ {*} = | x | _ {*} = | x | _ {**} ^ {c} = | -x | _ {**} ^ {c}.}$

Случай 1)

Позволять ${ displaystyle a, b, n in mathbb {N}}$ с а, б > 1. выражать б^п в основание а:

${ displaystyle b ^ {n} = sum _ {i$

Затем мы видим по свойствам абсолютного значения:

${ displaystyle { begin {align} | b | _ {*} ^ {n} & = | b ^ {n} | _ {*} & leq am max left {| a | _ { *} ^ {m-1}, 1 right } & leq a (n log _ {a} b + 1) max left {| a | _ {*} ^ {n log _ {a} b}, 1 right } end {align}}}$

Следовательно,

${ displaystyle | b | _ {*} leq left (a (n log _ {a} b + 1) right) ^ { frac {1} {n}} max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 right }.}$

Однако, как ${ Displaystyle п к infty}$, у нас есть

${ Displaystyle (а (п журнал _ {а} b + 1)) ^ { гидроразрыва {1} {п}} к 1,}$

что подразумевает

${ displaystyle | b | _ {*} leq max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 right }.}$

Теперь выберите ${ Displaystyle 1 <б в mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle | b | _ {*}> 1.}$ Использование этого в приведенном выше гарантирует, что ${ displaystyle | a | _ {*}> 1}$ независимо от выбора а (иначе ${ displaystyle | a | _ {*} ^ { log _ {a} b} leq 1}$, подразумевая ${ displaystyle | b | _ {*} leq 1}$). Таким образом, при любом выборе а, б > 1 выше мы получаем

${ displaystyle | b | _ {*} leq | a | _ {*} ^ { frac { log b} { log a}},}$

т.е.

${ displaystyle { frac { log | b | _ {*}} { log b}} leq { frac { log | a | _ {*}} { log a}}.}$

По симметрии это неравенство является равенством.

С а, б были произвольными, существует постоянная ${ displaystyle lambda in mathbb {R} _ {+}}$ для которого ${ Displaystyle журнал | п | _ {*} = лямбда журнал п}$, т.е. ${ displaystyle | n | _ {*} = n ^ { lambda} = | n | _ { infty} ^ { lambda}}$ для всех натуралов п > 1. Как видно из сделанных выше замечаний, ${ Displaystyle | х | _ {*} = | х | _ { infty} ^ { lambda}}$ для всех рациональных значений, тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной величине.

Корпус (2)

Поскольку эта оценка нетривиальна, должно быть натуральное число, для которого ${ displaystyle | n | _ {*} <1.}$ Факторизация на простые числа:

${ Displaystyle п = прод _ {я <г} р_ {я} ^ {е_ {я}}}$

дает, что существует ${ displaystyle j}$ такой, что ${ displaystyle | p_ {j} | <1.}$ Мы утверждаем, что на самом деле это так для Только один.

Предполагать за против который п, q - различные простые числа с абсолютным значением меньше 1. Во-первых, пусть ${ Displaystyle е в mathbb {N}}$ быть таким, чтобы ${ displaystyle | p | _ {*} ^ {e}, | q | _ {*} ^ {e} <{ tfrac {1} {2}}}$. Посредством Евклидов алгоритм, Существуют ${ displaystyle k, l in mathbb {Z}}$ такой, что ${ displaystyle kp ^ {e} + lq ^ {e} = 1.}$ Это дает

${ displaystyle 1 = | 1 | _ {*} leq | k | _ {*} | p | _ {*} ^ {e} + | l | _ {*} | q | _ {*} ^ {e } <{ frac {| k | _ {*} + | l | _ {*}} {2}} leq 1,}$

противоречие.

Итак, мы должны иметь ${ displaystyle | p_ {j} | _ {*} = alpha <1}$ для некоторых j, и ${ displaystyle | p_ {i} | _ {*} = 1}$ за я ≠ j. Сдача

${ displaystyle c = - { frac { log alpha} { log p}},}$

мы видим, что для общих положительных натуральных чисел

${ displaystyle | n | _ {*} = left | prod _ {i$

Согласно приведенным выше замечаниям, мы видим, что ${ Displaystyle | х | _ {*} = | х | _ {p} ^ {c}}$ для всех рациональных чисел, подразумевая, что абсолютное значение эквивалентно п-адический. ${ displaystyle blacksquare}$

Можно также показать более сильный вывод, а именно, что ${ Displaystyle | cdot | _ {*}: mathbb {Q} to mathbb {R}}$ является нетривиальным абсолютным значением тогда и только тогда, когда либо ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ { infty} ^ {c}}$ для некоторых ${ displaystyle c in (0,1]}$ или же ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ {p} ^ {c}}$ для некоторых ${ Displaystyle с in (0, infty), p in mathbf {P}}$.

Еще одна теорема Островского

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно Абсолютная величина архимеда, (алгебраически и топологически) изоморфна либо действительные числа или сложные числа. Иногда это также называют теоремой Островского.^[2]

Смотрите также

• Оценка (алгебра)

Рекомендации

• Касселс, Дж. У. С. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Януш, Джеральд Дж. (1996). Поля алгебраических чисел (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0429-4.
• Джейкобсон, Натан (1989). Базовая алгебра II (2-е изд.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Островский Александр (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ (x) · φ (y) = φ (xy)". Acta Mathematica (2-е изд.). 41 (1): 271–284. Дои:10.1007 / BF02422947. ISSN 0001-5962.