WikiDer > Теория ПКФ

PCF theory

Теория ПКФ это имя математический теория, представленная Сахароном Шелахом (1978), который касается конфинальность из сверхпродукты из заказанные наборы. Он дает строгие оценки сверху мощности комплекты питания из единственное число кардиналы, а также имеет множество других приложений. Аббревиатура «PCF» означает «возможные окончательности".

Основные определения

Если А это бесконечный набор обычные кардиналы, D является ультрафильтр на А, то пусть обозначают конфинальность упорядоченного множества функций где порядок определяется следующим образом. если . pcf (А) - это набор конфинальностей, которые возникают, если рассматривать все ультрафильтры на А, то есть,

Основные результаты

Очевидно, pcf (А) состоит из обычных кардиналов. Учитывая ультрафильтры, сконцентрированные на элементах Амы получаем это . Шелах доказал, что если , затем pcf (А) имеет наибольший элемент, и есть подмножества из А так что для каждого ультрафильтра D на А, - наименьший элемент θ в pcf (А) такие, что . Как следствие, . Шелах также доказал, что если А - интервал регулярных кардиналов (т. е. А - множество всех регулярных кардиналов между двумя кардиналами), то pcf (А) также является интервалом регулярных кардиналов и | pcf (А)|<|А|+4. Отсюда следует известное неравенство

предполагая, что ℵω является сильный предел.

Если λ - бесконечный кардинал, то J следующий идеал на А. BJ если выполняется для каждого ультрафильтра D с BD. потом J идеал, порожденный множествами . Существуют напольные весы, т.е. для любого λ∈pcf (А) существует последовательность длины λ элементов который является одновременно увеличивающимся и окончательным модом J. Это означает, что конфинальность при поточечном преобладании max (pcf (А)). Другое следствие состоит в том, что если λ особенное и не существует регулярного кардинала меньше λ Йонссон, то и λ+ это не Йонссон. В частности, есть Алгебра Йонссона на ℵω + 1, что опровергает старую гипотезу.

Нерешенные проблемы

Наиболее известная гипотеза в теории pcf гласит, что | pcf (А)|=|А| выполняется для каждого набора А регулярных кардиналов с |А| <мин (А). Это означало бы, что если ℵω сильный предел, то точная оценка

держит. Аналогичная оценка

следует из Гипотеза Чанга (Магидор) или даже из-за отсутствия Курепа дерево (Шела).

Более слабая, еще не решенная гипотеза гласит, что если |А| <мин (А), затем pcf (А) не имеет недоступной предельной точки. Это эквивалентно утверждению, что pcf (pcf (А)) = pcf (А).

Приложения

Эта теория нашла множество приложений, помимо кардинальной арифметики. В оригинальном обзоре Шелаха Кардинальная арифметика для скептиков, включает следующие темы: почти свободные абелевы группы, проблемы разбиения, несоблюдение цепных условий в булевых алгебрах при произведениях, существование алгебр Йонссона, существование запутанных линейных порядков, эквивалентно узкие булевы алгебры и существование неизоморфных моделей, эквивалентных в определенная бесконечная логика.

Между тем, многие другие приложения были найдены в теории множеств, теории моделей, алгебре и топологии.

Рекомендации

  • Сахарон Шелах, Кардинальная арифметика, Oxford Logic Guides, т. 29. Oxford University Press, 1994.

внешняя ссылка

  • Менахем Койман: Теория ПКФ
  • Шела, Сахарон (1978), "Алгебры Йонссона в последующих кардиналах", Израильский математический журнал, 30 (1): 57–64, Дои:10.1007 / BF02760829, МИСТЕР 0505434
  • Шела, Сахарон (1992), «Кардинальная арифметика для скептиков», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 26 (2): 197–210, arXiv:математика / 9201251, Дои:10.1090 / s0273-0979-1992-00261-6, МИСТЕР 1112424