WikiDer > Частные значения дзета-функции Римана

Particular values of the Riemann zeta function

В этой статье приведены некоторые конкретные значения Дзета-функция Римана, включая значения целочисленных аргументов и некоторые серии, включающие их.

Дзета-функция Римана в 0 и 1

В нуль, надо

В 1 есть столб, так ζ(1) не является конечным, но левый и правый пределы равны:

Поскольку это полюс первого порядка, его главное значение существует и равно Константа Эйлера – Маскерони γ = 0,57721 56649+.

Положительные целые числа

Даже положительные целые числа

Для четных положительных целых чисел есть отношение к Числа Бернулли:

за . Первые несколько значений даются как:

(OEISA013661)
(демонстрация этого равенства известна как Базельская проблема)
(OEISA013662)
Закон Стефана – Больцмана и Вина приближение по физике)
(OEISA013664)
(OEISA013666)
(OEISA013668)
(OEISA013670)
(OEISA013672).

Принимая предел , получается .

Связь между дзета в положительных четных целых числах и числами Бернулли может быть записана как

куда и целые числа для всех, даже . Они задаются целочисленными последовательностями OEISA002432 и OEISA046988соответственно в OEIS. Некоторые из этих значений воспроизводятся ниже:

коэффициенты
пАB
161
2901
39451
494501
5935551
6638512875691
7182432252
83256415662503617
93897929548012543867
101531329465290625174611
1113447856940643125155366
12201919571963756521875236364091
13110944819760305781251315862
145646536601700762736718756785560294
1556608788046690826740700156256892673020804
16624902205710223412072664062507709321041217
1712130454581433748587292890625151628697551

Если мы позволим быть коэффициентом как указано выше,

то рекурсивно находим,

Это рекуррентное соотношение может быть получено из соотношения для Числа Бернулли.

Также есть еще одно повторение:

что можно доказать, используя

Значения дзета-функции при неотрицательных четных целых числах имеют производящая функция:

С

Формула также показывает, что для ,

Нечетные положительные целые числа

Для первых нескольких нечетных натуральных чисел имеем

гармонический ряд);
(OEISA02117)
(Называется Постоянная апери и играет роль в гиромагнитном отношении электрона)
(OEISA013663)
(Появляется в Закон планка)
(OEISA013665)
(OEISA013667)

Известно, что ζ(3) иррационально (Теорема Апери) и что бесконечно много чисел ζ(2п + 1) : п ∈ ℕ , иррациональны.[1] Имеются также результаты об иррациональности значений дзета-функции Римана в элементах некоторых подмножеств положительных нечетных целых чисел; например, хотя бы один из ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) иррационально.[2]

Положительные нечетные целые числа дзета-функции появляются в физике, в частности корреляционные функции антиферромагнетика ХХХ цепочка вращения.[3]

Большинство идентификаторов, указанных ниже, предоставлены Саймон Плафф. Они примечательны тем, что сходятся довольно быстро, давая почти трехзначную точность на итерацию, и поэтому полезны для высокоточных вычислений.

ζ(5)

Плафф дает следующие тождества

ζ(7)

Обратите внимание, что сумма представлена ​​в виде Серия Ламберта.

ζ(2п + 1)

Определяя количества

ряд отношений можно представить в виде

куда Ап, Bп, Cп и Dп положительные целые числа. Plouffe дает таблицу значений:

коэффициенты
пАBCD
318073600
514705302484
756700191134000
9185238906253712262474844
1142567525014538513505000
132574321758951492672062370
15390769879500136877815397590000
1719044170077432506758333380886313167360029116187100
19214386125140687507708537428772250281375000
2118810638157622592531256852964037337621294245721105920001793047592085750

Эти целочисленные константы могут быть выражены как суммы по числам Бернулли, как указано в (Vepstas, 2006) ниже.

Быстрый алгоритм вычисления дзета-функции Римана для любого целочисленного аргумента дан Э. А. Карацубой.[4][5][6]

Отрицательные целые числа

В общем, для отрицательных целых чисел (а также нуля) один имеет

Так называемые "тривиальные нули" встречаются у отрицательных четных чисел:

(Рамануджан суммирование)

Первые несколько значений для отрицательных нечетных целых чисел:

Однако, как и Числа Бернулли, они не остаются маленькими для все более отрицательных нечетных значений. Подробнее о первом значении см. 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·.

Так ζ(м) можно использовать как определение всех (в том числе для индексов 0 и 1) чисел Бернулли.

Производные

Производная дзета-функции при отрицательных четных целых числах определяется выражением

Первые несколько значений из которых

Также есть

(OEISA075700),
(OEISA084448)

и

(OEISA073002)

куда А это Константа Глейшера – Кинкелина.

Серия с участием ζ(п)

Следующие суммы могут быть получены из производящей функции:

куда ψ0 это функция дигаммы.

Серия, относящаяся к Константа Эйлера – Маскерони (обозначается γ) находятся

и используя главное значение

что, конечно, влияет только на значение 1, эти формулы можно записать как

и показать, что они зависят от главного значения ζ(1) = γ .

Нетривиальные нули

Нули дзеты Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются «нетривиальными нулями». Видеть Андрей Одлызкоих таблицы и библиографии.

Рекомендации

  1. ^ Ривоал, Т. (2000). «La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 331: 267–270. arXiv:математика / 0008051. Bibcode:2000CRASM.331..267R. Дои:10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4.
  2. ^ В. Зудилин (2001). "Один из номеров ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально ». Русь. Математика. Surv. 56 (4): 774–776. Bibcode:2001RuMaS..56..774Z. Дои:10.1070 / rm2001v056n04abeh000427.
  3. ^ Boos, H.E .; Корепин, В.Е .; Nishiyama, Y .; Широиси, М. (2002). «Квантовые корреляции и теория чисел». J. Phys. А. 35: 4443–4452. arXiv:cond-mat / 0202346. Bibcode:2002JPhA ... 35.4443B. Дои:10.1088/0305-4470/35/20/305..
  4. ^ Карацуба, Э.А. (1995). "Быстрый расчет дзета-функции Римана ζ(s) для целых значений аргументаs". Пробл. Пердачи Инф. 31 (4): 69–80. МИСТЕР 1367927.
  5. ^ Э. А. Карацуба: Быстрое вычисление дзета-функции Римана для целочисленного аргумента. Докл. Математика. Том 54, № 1, с. 626 (1996).
  6. ^ Е. А. Карацуба: Быстрая оценка ζ(3). Пробл. Инф. Трансм. Том 29, № 1, стр. 58–62 (1993).

дальнейшее чтение