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In dem Mathematik, insbesondere in der Theorie der Differentialgleichung, eine beliebige Lösung einer Differentialgleichung wird a private Lösung erwähnt. Der begleitende Gedanke ist, dass diese private Lösung zur Erkennung des gesamten Lösungssatz, die sogenannte Allgemeine Lösung. Dies ist insbesondere bei (inhomogenen) lineare Differentialgleichungen.

Hintergrund

Eine lineare Differentialgleichung kann geschrieben werden als:

${Anzeigestil L(f)=g}$,

mit ${Anzeigestil L}$ ein linearer Operator und ${displaystyle g}$ eine bekannte Funktion.

Wenn eine Lösung bekannt ist, ist die jeweilige Lösung ${displaystyle f_{ ext{P}}}$, jede andere Lösung kann als Summe dieser speziellen Lösung und einer Lösung erhalten werden ${displaystyle f_{ ext{H}}}$ der entsprechenden homogenen Gleichung

${Anzeigestil L(f_{ext{H}})=0}$

Schließlich gilt:

${Anzeigestil L(f_{ ext{P}} f_{ ext{H}})=L(f_{ ext{P}}) L(f_{ ext{H}})=g}$

In vielen Fällen können alle Lösungen der homogenen Gleichung mit Standardmethoden gefunden werden, und es muss nur nach einer bestimmten Lösung gesucht werden, um alle Lösungen zu kennen.

Beispiel

Betrachten Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung

${displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} t}} f(t)=e^{t}}$

Die entsprechende homogen Differentialgleichung lautet

${displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} t}} f(t)=0}$

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (d. h. der Kern des Differentialoperators ${Anzeigestil D 1}$) liest

${displaystyle f(t)=Ae^{-t},quad Ain mathbb {C}}$

Eine private Lösung der ursprünglichen, inhomogenen Gleichung ist

${displaystyle f(t)={ frac {1}{2}}e^{t}}$

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist also

${displaystyle f(t)={ frac {1}{2}}e^{t} Ae^{-t},quad Ain mathbb {C} }$

Für Techniken zum Nachweis bestimmter und homogener Lösungen verweisen wir auf den Artikel über Differentialgleichung.