WikiDer > Порядок пути

Path-ordering

В теоретическая физика, порядок путей это процедура (или мета-оператор ), который упорядочивает продукт операторов в соответствии со значением выбранной параметр:

Здесь п это перестановка который упорядочивает параметры по значению:

Например:

Примеры

Если оператор не просто выражается как продукт, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить Расширение Тейлора этой функции. Это случай Петля Вильсона, который определяется как путь-упорядоченная экспонента чтобы гарантировать, что цикл Вильсона кодирует голономия из соединение манометра. Параметр σ который определяет порядок, является параметром, описывающим контур, и поскольку контур замкнут, петлю Вильсона необходимо определить как след для того, чтобы быть калибровочно-инвариантный.

Заказ времени

В квантовая теория поля полезно взять по расписанию произведение операторов. Эта операция обозначается . (Несмотря на то что часто называют «оператором временного порядка», строго говоря, это не оператор по штатам и супероператор по операторам.) переменная в размерности 4, как у черной дыры, но постоянная в размерности 3.[требуется разъяснение]Для двух операторов А(Икс) и B(у), которые зависят от пространственно-временных местоположений x и y, мы определяем:

Здесь и обозначить инвариантный скалярные координаты времени точек x и y.[1]

Явно мы имеем

куда обозначает Ступенчатая функция Хевисайда и зависит от того, являются ли операторы бозонный или же фермионный в природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения надлежащего временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы сюда не входят.

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (то есть не только во времени), эта операция упорядочения по времени не зависит от координат только в том случае, если операторы в космический отдельные точки ездить. Вот почему необходимо использовать скорее, чем , поскольку обычно указывает зависимый от координаты временный индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что временное упорядочение обычно записывается с увеличением аргумента времени справа налево.

В общем, для продукта п полевые операторы А1(т1), …, Ап(тп) Упорядоченный по времени продукт операторов определяется следующим образом:

где сумма бегает по всему п'с и более симметричная группа из п степени перестановки и

В S-матрица в квантовая теория поля является примером продукта, заказанного по времени. S-матрица, преобразующая состояние при т = −∞ в состояние т = +∞, можно также рассматривать как своего рода "голономия", аналогично Петля Вильсона. Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

Теперь рассмотрим дискретизированный оператор эволюции

куда - оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени . Членами более высокого порядка можно пренебречь в пределе . Оператор определяется

Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части продукта. Мы видим, что формула аналогична указанному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем написать

Единственная тонкость, которую нам пришлось добавить, - это оператор упорядочивания по времени. потому что факторы в продукте, определяющие S выше также были упорядочены по времени (и операторы обычно не коммутируют), а оператор гарантирует, что этот порядок будет сохранен.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Стивен Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 3, Cambridge University Press, 1995 г., ISBN 0-521-55001-7, п. 143.