WikiDer > Периодические точки комплексных квадратичных отображений - Википедия
Эта статья описывает периодические точки некоторых комплексные квадратичные отображения. А карта формула для вычисления значения переменной на основе ее собственного предыдущего значения или значений; а квадратичный map - это та, которая включает предыдущее значение, возведенное в степени один и два; и сложный карта - это та, в которой переменная и параметры сложные числа. А периодическая точка карты - это значение переменной, которое повторяется через интервалы фиксированной длины.
Эти периодические точки играют роль в теориях Фату и Юля наборы.
Определения
Позволять
быть комплексное квадратичное отображение, куда и находятся комплексный.
Условно, это -складывать сочинение из с самим собой, то есть значение после k-го итерация функции Таким образом
Периодические точки комплексного квадратичного отображения период точки из динамический самолет такой, что
куда - наименьшее натуральное число, для которого уравнение выполняется при этом z.
Мы можем ввести новую функцию:
поэтому периодические точки - это нули функции : точки z удовлетворение
который является полиномом от степень
Количество периодических точек
Степень полинома описание периодических точек так это точно комплексные корни (= периодические точки), считая с множественность,
Устойчивость периодических точек (орбит) - множитель
В множитель (или собственное значение, производная) рациональной карты повторяется раз в циклической точке определяется как:
куда это первая производная из относительно в .
Поскольку множитель одинаков во всех периодических точках на данной орбите, он называется множителем периодических орбита.
Множитель:
- а комплексное число;
- инвариантен относительно сопряжения любого рационального отображения в его неподвижной точке;[1]
- используется для проверки устойчивости периодических (также фиксированных) точек с индекс стабильности
Периодическая точка[2]
- привлечение, когда
- супер-привлекательный, когда
- привлекает, но не очень привлекает, когда
- безразлично, когда
- рационально индифферентный или параболический, если это корень единства;
- иррационально равнодушный если но множитель - это не корень единицы;
- отталкивает, когда
Периодические точки
- которые привлекают всегда в Набор Fatou;
- отталкивающие входят в набор Джулии;
- безразличные фиксированные точки могут быть в одной или другой.[3] Параболическая периодическая точка находится в множестве Жюлиа.
Очки Period-1 (фиксированные)
Конечные фиксированные точки
Начнем с поиска всех конечный баллов, оставленных без изменений одним применением . Это точки, удовлетворяющие . То есть мы хотим решить
который можно переписать как
Поскольку это обычное квадратное уравнение с одной неизвестной, мы можем применить стандартная квадратичная формула решения:
- и
Таким образом, для у нас есть два конечный фиксированные точки и .
С
- и куда
тогда .
Таким образом, неподвижные точки симметричны относительно .
Сложная динамика
Здесь обычно используются разные обозначения:[4]
- с множителем
и
- с множителем
С помощью Формулы Вьете можно показать, что:
С производная по z является
тогда
Отсюда следует, что может иметь не более одной привлекательной фиксированной точки.
Эти точки отличаются тем, что:
- является:
- точка приземления внешний луч для угла = 0 для
- самая отталкивающая неподвижная точка множества Жюлиа
- правый (если фиксированная точка не симметрична относительно действительной оси), это крайняя правая точка для связанных множеств Джулии (кроме цветной капусты).[5]
- является:
- точка посадки нескольких лучей
- привлечение, когда находится в главной кардиоиде множества Мандельброта, и в этом случае он находится внутри заполненного множества Жюлиа и, следовательно, принадлежит множеству Фату (строго к бассейну притяжения конечной неподвижной точки)
- параболическая в корневой точке лимба множества Мандельброта
- отталкивает для других значений
Особые случаи
Важным случаем квадратичного отображения является . В этом случае получаем и . В этом случае 0 - суператрактивный фиксированная точка, а 1 принадлежит Юля набор.
Только одна фиксированная точка
У нас есть именно когда Это уравнение имеет одно решение: в таком случае . Фактически - наибольшее положительное чисто реальное значение, для которого существует конечный аттрактор.
Бесконечная фиксированная точка
Мы можем продлить комплексная плоскость к Сфера Римана (расширенная комплексная плоскость) добавляя бесконечность :
и расширение многочлен такой, что
потом бесконечность является :
Период-2 цикла
Циклы периода 2 - это две разные точки. и такой, что и .
Мы пишем
Приравнивая это к z, мы получаем
Это уравнение является многочленом степени 4 и поэтому имеет четыре (возможно, не различных) решения. Однако нам уже известны два решения. Они есть и , вычисленное выше, так как если эти точки остаются неизменными одним применением , то очевидно, что они не будут изменены более чем одним применением .
Следовательно, наш полином 4-го порядка можно разложить на множители двумя способами:
Первый метод факторизации
Это расширяется прямо как (обратите внимание на чередующиеся знаки), где
У нас уже есть два решения, и нам нужны только два других. Следовательно, задача эквивалентна решению квадратного многочлена. В частности, отметим, что
и
Добавляя их к вышесказанному, мы получаем и . Сопоставление их с коэффициентами от расширения , мы получили
- и
Отсюда легко получаем
- и .
Отсюда построим квадратное уравнение с и примените стандартную формулу решения, чтобы получить
- и
Более пристальное рассмотрение показывает, что:
- и
это означает, что эти две точки являются двумя точками в одном цикле периода-2.
Второй метод факторизации
Мы можем разложить квартику на множители, используя полиномиальное деление в столбик разделить факторы и которые учитывают две фиксированные точки и (значения которых были указаны ранее и которые все еще остаются в фиксированной точке после двух итераций):
Корни первого фактора - это две неподвижные точки. Они отталкиваются за пределами основной кардиоиды.
Второй фактор имеет два корня
Эти два корня, которые совпадают с корнями, найденными первым методом, образуют орбиту с периодом 2.[7]
Особые случаи
Опять же, давайте посмотрим на . потом
- и
оба являются комплексными числами. У нас есть . Таким образом, обе эти точки «прячутся» в множестве Жюлиа. Другой частный случай - это , который дает и . Это дает хорошо известный суператрактивный цикл, обнаруженный в самой большой доле периода 2 квадратичного множества Мандельброта.
Циклы за период больше 2
Степень уравнения 2п; таким образом, например, чтобы найти точки на 3-х циклах, нам нужно будет решить уравнение степени 8. После разложения факторов, дающих две фиксированные точки, мы получим уравнение шестой степени.
Нет общего решения в радикалы в полиномиальные уравнения пятой степени или выше, поэтому точки на цикле с периодом больше 2, как правило, должны вычисляться с использованием численные методы. Однако в частном случае периода 4 циклические точки имеют длинные выражения в радикалах.[8]
В случае c = –2, тригонометрический решения существуют для периодических точек всех периодов. Дело эквивалентен логистическая карта дело р = 4: Здесь эквивалентность дается формулой Один из k-циклы логистической переменной Икс (все циклы отталкиваются)
Рекомендации
- ^ Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2, п. 41 год
- ^ Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2, стр.99
- ^ Некоторые наборы Julia от Майкла Беккера
- ^ На обычном пространстве листьев цветной капусты Томоки Кавахира Источник: Kodai Math. J. Том 26, номер 2 (2003), 167-178. В архиве 2011-07-17 на Wayback Machine
- ^ Периодический аттрактор Евгения Демидова В архиве 2008-05-11 на Wayback Machine
- ^ Р. Л. Девани, L Keen (Редактор): Хаос и фракталы: математика, лежащая в основе компьютерной графики. Издатель: Amer Mathematical Society июль 1989 г. ISBN 0-8218-0137-6 , ISBN 978-0-8218-0137-6
- ^ Период 2 орбиты Евгения Демидова В архиве 2008-05-11 на Wayback Machine
- ^ Гвозден Рукавина: Квадратичные рекуррентные уравнения - точное явное решение функций неподвижных точек с периодом четыре на бифуркационной диаграмме
дальнейшее чтение
- Геометрические свойства корней полиномов
- Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2
- Майкл Ф. Барнсли (автор), Стивен Г. Демко (редактор), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (апрель 1986), ISBN 0-12-079060-2
- Вольф Юнг: гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.
- Перестановки периодических точек в квадратичных многочленах Дж. Лихи
внешняя ссылка
В Викиучебнике есть книга на следующие темы: Фракталы |
- Алгебраическое решение орбитальных границ Мандельброта Дональд Д. Кросс
- Метод Брауна Роберт П. Мунафо
- arXiv: hep-th / 0501235v2 В.Долотин, А.Морозов: Алгебраическая геометрия дискретной динамики. Случай одной переменной.