WikiDer > Точечно
В математика, квалификатор точечно используется, чтобы указать, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения какой-то функции Важным классом точечных понятий являются поточечные операции, то есть операции, определенные для функций путем применения операций к значениям функций отдельно для каждой точки в домен определения. Важный связи также можно определить поточечно.
Точечные операции
Формальное определение
Бинарная операция о: Y × Y → Y на съемочной площадке Y можно поднять точечно на операцию О: (Икс→Y) × (Икс→Y) → (Икс→Y) на множестве Икс→Y всех функций из Икс к Y следующим образом: Учитывая две функции ж1: Икс → Y и ж2: Икс → Y, определим функцию О(ж1,ж2): Икс → Y к
- (О(ж1,ж2))(Икс) = о(ж1(Икс),ж2(Икс)) для всех Икс∈Икс.
Обычно о и О обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций о, а также для операций других арность.[нужна цитата]
Примеры
куда .
Смотрите также точечный продукт, и скаляр.
Пример операции над функциями, которая нет точечно свертка.
Характеристики
Точечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность, коммутативность и распределенность от соответствующих операций на codomain. Если есть некоторые алгебраическая структура, набор всех функций к набор носителей из можно аналогичным образом превратить в алгебраическую структуру того же типа.
Компонентные операции
Компонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества для некоторых натуральное число и немного поле . Если обозначить -я компонента любого вектора в качестве , то покомпонентное сложение .
На матрицах можно определять покомпонентные операции. Сложение матрицы, где является покомпонентной операцией, а матричное умножение не является.
А кортеж можно рассматривать как функцию, а вектор - это кортеж. Следовательно, любой вектор соответствует функции такой, что , а любая покомпонентная операция над векторами - это поточечная операция над функциями, соответствующими этим векторам.
Точечные отношения
В теория порядка поточечный частичный заказ по функциям. С А, B позы, набор функций А → B можно заказать ж ≤ грамм тогда и только тогда, когда (∀Икс ∈ A) ж(Икс) ≤ грамм(Икс). Точечные порядки также наследуют некоторые свойства нижележащих положений. Например, если A и B непрерывные решетки, то и набор функций А → B с поточечным порядком.[1] Используя точечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например:[2]
- А оператор закрытия c на позе п это монотонный и идемпотент автокарта на п (т.е. оператор проекции) с дополнительным свойством idА ≤ c, где id - это функция идентичности.
- Аналогично оператор проекции k называется оператор ядра если и только если k ≤ idА.
Пример бесконечный поточечная связь поточечная сходимость функций - а последовательность функций
с
сходится точечно к функции если для каждого в
Примечания
Рекомендации
Примеры теории порядка:
- Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры, Springer, 2005 г., ISBN 1-85233-905-5.
- Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав, Д. С. Скотт: Непрерывные решетки и домены, Издательство Кембриджского университета, 2003.
В эту статью включены материалы из Pointwise по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.