WikiDer > Простая дзета-функция

Prime zeta function

В математика, то простая дзета-функция является аналогом Дзета-функция Римана, изученный Глейшер (1891). Это определяется как следующее бесконечная серия, которая сходится при :

Характеристики

В Произведение Эйлера для дзета-функции Римана ζ(s) следует, что

который по Инверсия Мёбиуса дает

Когда s идет к 1, у нас есть .Это используется в определении Плотность Дирихле.

Это дает продолжение п(s) к , с бесконечным числом логарифмических особенностей в точках s куда нс это полюс (только нс = 1, когда п является бесквадратным числом, большим или равным 1), или нулем дзета-функции Римана ζ(.). Линия является естественной границей, так как особенности кластера вблизи всех точек этой прямой.

Если определить последовательность

тогда

(Возведение в степень показывает, что это эквивалентно лемме 2.7 Ли.)

Простая дзета-функция связана с Постоянная Артина к

куда Lп это пth Число Лукаса.[1]

Конкретные значения:

sприблизительное значение P (s)OEIS
1[2]
2OEISA085548
3OEISA085541
4OEISA085964
5OEISA085965
9OEISA085969

Анализ

интеграл

Интеграл по простой дзета-функции обычно привязан к бесконечности, потому что полюс на запрещает определение хорошей нижней границы для некоторого конечного целого числа без обсуждения сечений ветвей в комплексной плоскости:

Примечательные значения снова те, где суммы сходятся медленно:

sприблизительное значение OEIS
1OEISA137245
2OEISA221711
3
4

Производная

Первая производная

Интересны значения, в которых суммы сходятся медленно:

sприблизительное значение OEIS
2OEISA136271
3OEISA303493
4OEISA303494
5OEISA303495

Обобщения

Почти простые дзета-функции

Поскольку дзета-функция Римана представляет собой сумму обратных степеней над целыми числами, а дзета-функция простого числа представляет собой сумму обратных степеней простых чисел, k-простые числа (целые числа, которые являются произведением необязательно различные простые числа) определяют своего рода промежуточные суммы:

куда общее количество главные факторы.

ksприблизительное значение OEIS
22OEISA117543
23
32OEISA131653
33

Каждое целое число в знаменателе дзета-функции Римана можно классифицировать по значению индекса , который разлагает дзета-функцию Римана в бесконечную сумму :

Поскольку мы знаем, что Серия Дирихле (в некотором формальном параметре ты) удовлетворяет

мы можем использовать формулы для симметричные полиномиальные варианты с производящей функцией правостороннего типа. А именно, мы имеем коэффициентное тождество, что когда последовательности соответствуют куда обозначает характеристическую функцию простые числа. С помощью Личности Ньютона, мы имеем общую формулу для этих сумм:

Особые случаи включают следующие явные расширения:

Простой по модулю дзета-функции

Построение суммы не по всем простым числам, а только по простым числам, которые находятся в одном классе по модулю, вводит дополнительные типы бесконечных рядов, которые являются редукцией L-функция Дирихле.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина». MathWorld.
  2. ^ Видеть расхождение суммы обратных простых чисел.

внешняя ссылка