WikiDer > Пифагорейская тригонометрическая идентичность

Pythagorean trigonometric identity

В Пифагорейская тригонометрическая идентичность, также называемый просто Пифагорейская идентичность, является личность выражая теорема Пифагора с точки зрения тригонометрические функции. Вместе с формулы суммы углов, это одно из основных соотношений между синус и косинус функции.

Личность

По-прежнему, грех2 θ означает .

Доказательства и их связь с теоремой Пифагора

Подобные прямоугольные треугольники показывают синус и косинус угла θ

Доказательство на основе прямоугольных треугольников

Любой похожие треугольники обладают тем свойством, что если мы выберем один и тот же угол во всех из них, соотношение двух сторон, определяющих угол, будет одинаковым независимо от того, какой подобный треугольник выбран, независимо от его фактического размера: отношения зависят от трех углов, а не длины сторон. Таким образом, для любого из подобных прямоугольных треугольников на рисунке отношение его горизонтальной стороны к его гипотенузе одинаково, а именно cos θ.

Элементарные определения функций синуса и косинуса в терминах сторон прямоугольного треугольника:

Пифагорейская идентичность следует возведением в квадрат обоих приведенных выше определений и сложением; то левая сторона личности тогда становится

который по теореме Пифагора равен 1. Это определение справедливо для всех углов в связи с определением определения и для единичной окружности и, таким образом, и для круга радиуса c и отражающего наш треугольник по оси y и устанавливая и .

В качестве альтернативы личности, найденные в Тригонометрическая симметрия, сдвиги и периодичность могут быть использованы. Используя тождества периодичности, мы можем сказать, верна ли формула для −π < θ ≤ π тогда это правда для всего настоящего θ. Далее мы докажем диапазон π / 2 < θ ≤ π, для этого мы позволяем т = θ - π / 2, т теперь будет в диапазоне 0 < т ≤ π / 2. Затем мы можем использовать возведенные в квадрат версии некоторых основных тождеств сдвига (возведение в квадрат удобно удаляет знаки минус):

Остается только доказать это для −π < θ < 0; это можно сделать, возведя в квадрат тождества симметрии, чтобы получить

Связанные личности

Подобные прямоугольные треугольники, иллюстрирующие касательную и секущую тригонометрические функции.

Личности

и

также называются тригонометрическими тождествами Пифагора.[1] Если длина одного катета прямоугольного треугольника равна 1, то тангенс угла, примыкающего к этому катету, равен длине другого катета, а секущая угла - длине гипотенузы.

и:

Таким образом, это тригонометрическое тождество касательной и секущей следует из теоремы Пифагора. Угол напротив катета длиной 1 (этот угол можно обозначить φ = π / 2 - θ) имеет котангенс, равный длине другого катета, и косеканс, равный длине гипотенузы. Таким образом, это тригонометрическое тождество, включающее котангенс и косеканс, также следует из теоремы Пифагора.

В следующей таблице приведены идентификаторы с фактором или делителем, который связывает их с основным идентификатором.

Оригинальная идентичностьДелительУравнение делителяПроизводная идентичностьПроизводная идентификация (альтернативная)

Доказательство с использованием единичного круга

Точка п(x, y) на окружности единичного радиуса в точке тупой угол θ> π / 2
Функция синуса на единичном круге (вверху) и ее график (внизу)

Единичный круг с центром в начале координат на евклидовой плоскости определяется уравнением:[2]

Для угла θ существует единственная точка п на единичной окружности под углом θ от Иксось, и Икс- и у-координаты п находятся:[3]

Следовательно, из уравнения для единичной окружности:

пифагорейская идентичность.

На рисунке точка п имеет отрицательный x-координата и соответственно задается Икс = cosθ, которое является отрицательным числом: cosθ = −cos (π−θ ). Точка п имеет положительный у-координировать и грешитьθ = sin (π−θ )> 0. При θ увеличивается от нуля до полного круга θ = 2π, синус и косинус меняют знаки в различных квадрантах, чтобы сохранить Икс и у с правильными знаками. На рисунке показано, как меняется знак синусоидальной функции при изменении квадранта угла.

Поскольку Икс- и у-оси перпендикулярны, это тождество Пифагора эквивалентно теореме Пифагора для треугольников с гипотенузой длины 1 (которая, в свою очередь, эквивалентна полной теореме Пифагора при применении аргумента о подобных треугольниках). Видеть единичный круг для краткого объяснения.

Доказательство с использованием степенного ряда

Тригонометрические функции также могут быть определены с помощью степенной ряд, а именно (для Икс угол, измеренный в радианы):[4][5]

Используя формальный закон умножения для степенных рядов при Умножение и деление степенного ряда (соответствующим образом модифицированный для учета вида ряда здесь), получаем

В выражении греха2, п должно быть не меньше 1, а в выражении для cos2, то постоянный срок равно 1. Остальные члены их суммы равны (без общих множителей)

посредством биномиальная теорема. Как следствие,

что является тригонометрическим тождеством Пифагора.

Когда тригонометрические функции определены таким образом, тождество в сочетании с теоремой Пифагора показывает, что эти степенные ряды параметризовать единичный круг, который мы использовали в предыдущем разделе. Это определение строит функции синуса и косинуса строго и доказывает, что они дифференцируемы, так что фактически оно включает две предыдущие.

Доказательство с помощью дифференциального уравнения

Синус и косинус можно определить как два решения дифференциального уравнения:[6]

удовлетворение соответственно у(0) = 0, у′ (0) = 1 и у(0) = 1, у′ (0) = 0. Из теории обыкновенные дифференциальные уравнения что первое решение, синус, имеет второе, косинус, в качестве производной, и из этого следует, что производная косинуса является отрицательной величиной синуса. Тождество эквивалентно утверждению, что функция

постоянна и равна 1. Дифференцируя с помощью Правило цепи дает:

так z постоянна теорема о среднем значении. Расчет подтверждает, что z(0) = 1 и z это константа, поэтому z = 1 для всех Икс, так что пифагорейская идентичность установлена.

Аналогичное доказательство может быть выполнено с использованием степенных рядов, как указано выше, чтобы установить, что синус имеет производной косинус, а косинус - отрицательный синус. Фактически, определения обыкновенным дифференциальным уравнением и степенным рядом приводят к аналогичным выводам большинства тождеств.

Это доказательство тождества не имеет прямого отношения к доказательству Евклида теоремы Пифагора.

Смотрите также

Встроенные заметки и ссылки

  1. ^ Лоуренс С. Лефф (2005). Простой способ PreCalculus (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п.296. ISBN 0-7641-2892-2.
  2. ^ Этот результат можно найти с помощью формулы расстояния для расстояния от начала координат до точки . Видеть Синтия Ю. Янг (2009). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Вайли. п. 210. ISBN 0-470-22273-5. Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто подставить значения и определить, что график представляет собой круг.
  3. ^ Томас В. Хангерфорд, Дуглас Дж. Шоу (2008). «§6.2 Функции синуса, косинуса и тангенса». Contemporary Precalculus: графический подход (5-е изд.). Cengage Learning. п. 442. ISBN 0-495-10833-2.
  4. ^ Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). «Силовой ряд». Анализ временных рядов. Издательство Принстонского университета. п. 714. ISBN 0-691-04289-6.
  5. ^ Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3». Реальный анализ и основы (2-е изд.). CRC Press. С. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
  6. ^ Тын Мьинт У., Локенат Дебнат (2007). «Пример 8.12.1». Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. п. 316. ISBN 0-8176-4393-1.

внешняя ссылка