WikiDer > Радиальная интерполяция базисной функции
Радиальная базисная функция (RBF) интерполяция это продвинутый метод в теория приближения для строительства высокого порядка точный интерполянты неструктурированных данных, возможно, в многомерных пространствах. Интерполянт принимает форму взвешенной суммы радиальные базисные функции. RBF-интерполяция - это бессеточный метод, то есть узлы (точки в области) не обязательно должны лежать на структурированной сетке и не требуют формирования сетка. Часто спектрально точный[1] и стабильна для большого количества узлов даже в больших размерах.
Многие методы интерполяции могут использоваться в качестве теоретической основы алгоритмов аппроксимации линейные операторы, и интерполяция RBF не исключение. RBF-интерполяция использовалась для аппроксимации дифференциальные операторы, интегральные операторы и поверхностные дифференциальные операторы. Эти алгоритмы использовались для поиска высокоточных решений многих дифференциальных уравнений, включая Уравнения Навье – Стокса,[2] Уравнение Кана – Хиллиарда, а уравнения мелкой воды.[3][4]
Примеры
Позволять и разреши быть 15 равноотстоящими точками на интервале . Мы сформируем куда это радиальная базисная функция, и выберите такой, что ( интерполирует в выбранных точках). В матричных обозначениях это можно записать как
Выбор , то Гауссовский, с параметром формы , затем мы можем решить матричное уравнение для весов и построить интерполянт. Изобразив интерполирующую функцию ниже, мы видим, что она визуально одинакова везде, кроме около левой границы (пример Феномен Рунге), где это все еще очень близкое приближение. Точнее максимальная погрешность примерно равна в .
Мотивация
Теорема Майрхубера – Кертиса гласит, что для любого открытого множества в с , и линейно независимые функции на , существует набор точки в области такие, что матрица интерполяции
является единственное число.[5]
Это означает, что если кто-то хочет иметь общий алгоритм интерполяции, он должен выбрать базисные функции в зависимости от точек интерполяции. В 1971 году Роллан Харди разработал метод интерполяции разрозненных данных с использованием интерполянтов вида . Это интерполяция на основе сдвинутых многоквадрических функций, которые теперь чаще записываются как , и является первым примером интерполяции радиальной базисной функции.[6] Было показано, что результирующая матрица интерполяции всегда будет невырожденной. Это не нарушает теорему Майрхубера – Кертиса, поскольку базисные функции зависят от точек интерполяции. Выбор такого радиального ядра, при котором матрица интерполяции не является сингулярной, является в точности определением радиальной базисной функции. Было показано, что любая функция, которая полностью монотонный будет иметь это свойство, включая Гауссовский, обратные квадратичные и обратные многоквадрические функции.[7]
Настройка параметров формы
Эта секция не цитировать любой источники. (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Многие радиальные базисные функции имеют параметр, который управляет их относительной плоскостностью или остротой. Этот параметр обычно обозначается символом при этом функция становится все более плоской, поскольку . Например, Роллан Харди использовал формулу для многоквадричный, однако в настоящее время формула вместо этого используется. Эти формулы эквивалентны с точностью до масштабного коэффициента. Этот фактор несущественен, поскольку базисные векторы имеют то же самое охватывать и веса интерполяции будут компенсировать. По соглашению базовая функция масштабируется так, чтобы как видно на графиках Гауссовы функции и функции удара.
А Функция Гаусса для нескольких вариантов
Сюжет масштабной функция удара с несколькими вариантами параметров формы
Следствием этого выбора является то, что матрица интерполяции приближается к единичной матрице как приводящая к устойчивости при решении матричной системы. Результирующий интерполянт в целом будет плохо приближаться к функции, поскольку он будет близок к нулю везде, за исключением точек интерполяции, где он будет резко пиковым - так называемый «интерполянт с гвоздями» (как видно на графике) Направо).
На противоположной стороне спектра номер условия матрицы интерполяции будет расходиться до бесконечности при что приводит к плохому кондиционированию системы. На практике параметр формы выбирается таким образом, чтобы матрица интерполяции находилась «на грани плохого согласования» (например, с числом обусловленности примерно за двойная точность плавающая точка).
Иногда при выборе параметра формы следует учитывать и другие факторы. Например, функция удара
Некоторые радиальные базисные функции, такие как полигармонические сплайны не имеют параметров формы.
Рекомендации
- ^ Бухманн, Мартин; Нира, Дин (июнь 1993 г.). «Спектральная сходимость многоквадрической интерполяции». Труды Эдинбургского математического общества. 36 (2): 319–333. Дои:10.1017 / S0013091500018411.
- ^ Флаер, Наташа; Barnett, Gregory A .; Уикер, Луи Дж. (2016). «Улучшение конечных разностей с помощью радиальных базисных функций: эксперименты по уравнениям Навье – Стокса». Журнал вычислительной физики. 316: 39–62. Дои:10.1016 / j.jcp.2016.02.078.
- ^ Wong, S.M .; Hon, Y.C .; Гольберг, М.А. (2002). «Радиальные базисные функции с компактным носителем для уравнений мелкой воды». Прикладная математика и вычисления. 127 (1): 79–101. Дои:10.1016 / S0096-3003 (01) 00006-6.
- ^ Флаер, Наташа; Райт, Грэди Б. (2009). «Метод радиальной базисной функции для уравнений мелкой воды на сфере». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 465 (2106): 1949–1976. Дои:10.1098 / rspa.2009.0033.
- ^ Майрхубер, Джон К. (1956). «О теореме Хаара о задачах приближения Чебычева, имеющих единственное решение». Труды Американского математического общества. 7 (4): 609–615. JSTOR 2033359.
- ^ Харди, Роллан Л. (1971). «Мультиквадрические уравнения топографии и других нерегулярных поверхностей». Журнал геофизических исследований. 7 (8): 1905–1915. Дои:10.1029 / JB076i008p01905.
- ^ Fasshaur, Грег (2007). Бессеточные методы аппроксимации с помощью MATLAB. Мировое научное издательство. ISBN 978-981-270-633-1.