WikiDer > Ранг раздела

Rank of a partition
Ранг раздела, отображаемый как его Диаграмма Юнга
Фриман Дайсон в 2005 году

В математика, особенно в области теория чисел и комбинаторика, то ранг разбиения положительного целого числа это определенный целое число связанный с раздел. Фактически, в литературе встречается по крайней мере два разных определения ранга. Первое определение, которому посвящена большая часть этой статьи, заключается в том, что ранг раздела - это число, полученное вычитанием количества частей в разделе из наибольшей части в разделе. Концепция была представлена Фриман Дайсон в статье, опубликованной в журнале Эврика.[1] Он был представлен в контексте исследования некоторых соответствие свойства функция распределения открыт индийским математическим гением Шриниваса Рамануджан. Другое понятие, носящее то же имя, используется в комбинаторике, где за ранг понимается размер Площадь Дерфи раздела.

Определение

Автор раздел положительного целого числа п мы имеем в виду конечное мультимножество λ = {λk, λk − 1,. . . , λ1 } натуральных чисел, удовлетворяющих следующим двум условиям:

  • λk ≥. . . ≥ λ2 ≥ λ1 > 0.
  • λk +. . . + λ2 + λ1 = п.

Если λk, . . . , λ2, λ1 различны, т. е. если

  • λk >. . . > λ2 > λ1 > 0

тогда раздел λ называется строгое разделение из п. Целые числа λk, λk − 1, ..., λ1 являются части раздела. Количество деталей в перегородке λ является k и самая большая часть в перегородке λk. Ранг раздела λ (обычный или строгий) определяется как λkk.[1]

Ряды перегородок п принимают следующие значения и никакие другие:[1]

п − 1, п −3, п −4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −(п − 4), −(п − 3), −(п − 1).

В следующей таблице приведены ранги различных разделов числа 5.

Ранги разбиений целого числа 5

Раздел
(λ)
Самая большая часть
(λk)
Количество частей
(k)
Ранг раздела
(λkл)
{ 5 }514
{ 4, 1 }422
{ 3, 2 }321
{ 3, 1, 1 }330
{ 2, 2, 1 }23−1
{ 2, 1, 1, 1 }24−2
{ 1, 1, 1, 1, 1 }15−4

Обозначения

Следующие ниже обозначения используются для указания количества разделов, имеющих данный ранг. Позволять п, q быть натуральным числом и м быть любым целым числом.

  • Общее количество разделов п обозначается п(п).
  • Количество разделов п со званием м обозначается N(м, п).
  • Количество разделов п с рангом, соответствующим м по модулю q обозначается N(м, q, п).
  • Количество строгих перегородок п обозначается Q(п).
  • Количество строгих перегородок п со званием м обозначается р(м, п).
  • Количество строгих перегородок п с рангом, соответствующим м по модулю q обозначается Т(м, q, п).

Например,

п(5) = 7 , N(2, 5) = 1 , N(3, 5) = 0 , N(2, 2, 5) = 5 .
Q(5) = 3 , р(2, 5) = 1 , р(3, 5) = 0 , Т(2, 2, 5) = 2.

Некоторые основные результаты

Позволять п, q быть натуральным числом и м быть любым целым числом.[1]

Сравнение Рамануджана и гипотеза Дайсона

Шриниваса Рамануджан в статье, опубликованной в 1919 году, доказал следующее: совпадения с участием статистической суммы п(п):[2]

  • п(5 п + 4) ≡ 0 (мод. 5)
  • п(7п + 5) ≡ 0 (мод 7)
  • п(11п + 6) ≡ 0 (мод.11)

Комментируя этот результат, Дайсон отметил, что «... хотя мы можем доказать, что разбиения 5п + 4 можно разделить на пять одинаково многочисленных подклассов, неудовлетворительно получить из доказательств отсутствие конкретного представления о том, как должно производиться разделение. Нам потребуется доказательство, которое не относится к производящим функциям,. . . ".[1] Дайсон ввел идею ранга перегородки для выполнения поставленной перед собой задачи. Используя эту новую идею, он сделал следующие предположения:

  • N(0, 5, 5п + 4) = N(1, 5, 5п + 4) = N(2, 5, 5п + 4) = N(3, 5, 5п + 4) = N(4, 5, 5п + 4)
  • N(0, 7, 7п + 5) = N(1, 7, 7п + 5) = N(2, 7, 7п + 5) = . . . = N(6, 7, 7п + 5)

Эти предположения были доказаны Аткином и Суиннертон-Дайером в 1954 году.[3]

В следующих таблицах показано, как разбиения целых чисел 4 (5 ×п + 4 с п = 0) и 9 (5 ×п + 4 с п = 1) делятся на пять одинаково многочисленных подклассов.

Разбиения целого числа 4

Перегородки с
ранг ≡ 0
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 1
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 2
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 3
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 4
(мод 5)
{ 2, 2 }{ 3, 1 }{ 1, 1, 1, 1 }{ 4 }{ 2, 1, 1 }

Разбиения целого числа 9

Перегородки с
ранг ≡ 0
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 1
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 2
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 3
(мод 5)
Перегородки с
ранг ≡ 4
(мод 5)
{ 7, 2 }{ 8, 1 }{ 6, 1, 1, 1 }{ 9 }{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }{ 5, 2, 1, 1 }{ 5, 3, 1}{ 6, 2, 1 }{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }{ 4, 4, 1 }{ 5, 2, 2 }{ 5, 4 }{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }{ 4, 3, 2 }{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }{ 3, 3, 1, 1, 1 }{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }{ 2, 2, 2, 2, 1 }{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }{ 3, 2, 2, 1, 1}{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Производящие функции

  • Производящая функция п(п) был открыт Эйлером и хорошо известен.[4]
  • Производящая функция для N(мп) приводится ниже:[5]
  • Производящая функция для Q ( п ) приведено ниже:[6]
  • Производящая функция для Q ( м , п ) приведено ниже:[6]

Альтернативное определение

В комбинаторике фраза ранг раздела иногда используется для описания другой концепции: ранг разбиения λ является наибольшим целым числом я такое, что λ имеет не менее я части, каждая из которых не меньше чем я.[7] Эквивалентно, это длина главной диагонали в Диаграмма Юнга или же Диаграмма Феррерса для λ, или длина стороны Площадь Дерфи из λ.

Таблица рангов перегородок 5 приведена ниже.

Ранги разбиений целого числа 5

РазделКлассифицировать
{ 5 }1
{ 4, 1 }1
{ 3, 2 }2
{ 3, 1, 1 }1
{ 2, 2, 1 }2
{ 2, 1, 1, 1 }1
{ 1, 1, 1, 1, 1 }1

дальнейшее чтение

  • Асимптотические формулы для статистической суммы ранга:[8]
  • Сравнения для функции ранга:[9]
  • Обобщение ранга до BG-ранга:[10]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е Ф. Дайсон (1944). «Некоторые догадки по теории перегородок». Эврика (Кембридж). 8: 10–15.
  2. ^ Шриниваса, Рамануджан (1919). "Некоторые свойства п(п), количество разделов п". Труды Кембриджского философского общества. XIX: 207–210.
  3. ^ А. О. Л. Аткин; Х. П. Ф. Суиннертон-Дайер (1954). «Некоторые свойства перегородок». Труды Лондонского математического общества. 66 (4): 84–106. Дои:10.1112 / плмс / с3-4.1.84.
  4. ^ G.H. Харди и Э.В. Райт (1938). Введение в теорию чисел. Лондон: Издательство Оксфордского университета. п. 274.
  5. ^ Брингманн, Катрин (2009). «Конгруэнции для рангов Дайсона» (PDF). Международный журнал теории чисел. 5 (4): 573–584. Дои:10.1142 / S1793042109002262. Получено 24 ноября 2012.
  6. ^ а б Мария Монкс (2010). «Теоретико-числовые свойства производящих функций, связанные с рангом Дайсона для разбиений на отдельные части» (PDF). Труды Американского математического общества. 138 (2): 481–494. Дои:10.1090 / с0002-9939-09-10076-х. Получено 24 ноября 2012.
  7. ^ Стэнли, Ричард П. (1999) Перечислительная комбинаторика, Том 2, п. 289. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1.
  8. ^ Брингман, Катрин (июль 2009 г.). «Асимптотика для функций разбиения рангов» (PDF). Труды Американского математического общества. 361 (7): 3483–3500. arXiv:0708.0691. Дои:10.1090 / с0002-9947-09-04553-х. Получено 21 ноября 2012.
  9. ^ Брингманн, Катрин. "Соответствие званию Дайсона" (PDF). Получено 21 ноября 2012.
  10. ^ Александр Беркович и Фрэнк Гарван. «BG-ранг раздела и его приложений» (PDF). Получено 21 ноября 2012.