WikiDer > Уравнение Редфилда - Википедия

В квантовая механика, то Уравнение Редфилда это Марковский основное уравнение, которое описывает временную эволюцию матрица плотности ρ квантовой системы, слабо связанной с окружающей средой. Уравнение названо в честь Альфреда Г. Редфилда, который первым применил его для ядерный магнитный резонанс спектроскопия.^[1]

Существует тесная связь с Основное уравнение Линдблада. Если выполняется так называемое секулярное приближение, при котором сохраняются только определенные резонансные взаимодействия с окружающей средой, каждое уравнение Редфилда преобразуется в основное уравнение типа Линдблада.

Уравнения Редфилда сохраняют след и правильно создают термализованное состояние для асимптотического распространения. Однако, в отличие от уравнений Линдблада, уравнения Редфилда не гарантируют положительной временной эволюции матрицы плотности. То есть во время эволюции можно получить отрицательные популяции. Уравнение Редфилда приближается к правильной динамике при достаточно слабой связи с окружающей средой.

Общий вид уравнения Редфилда:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} rho (t) = - { frac {i} { hbar}} [H, rho (t)] - { frac {1} { hbar ^ {2}}} sum _ {m} [S_ {m}, Lambda _ {m} rho (t) - rho (t) Lambda _ {m} ^ { dagger}] }$

куда ${ displaystyle H}$ - эрмитов гамильтониан, а ${ displaystyle S_ {m}, Lambda _ {m}}$ - операторы, описывающие связь с окружающей средой. Их явный вид приведен ниже в выводе.

Вывод

Рассмотрим квантовую систему, связанную с окружающей средой с полным гамильтонианом ${ displaystyle H _ { text {tot}} = H + H _ { text {int}} + H _ { text {env}}}$. Кроме того, мы предполагаем, что гамильтониан взаимодействия можно записать как ${ displaystyle H _ { text {int}} = sum _ {n} S_ {n} E_ {n}}$, где ${ displaystyle S_ {n}}$ действуют только на степени свободы системы, ${ displaystyle E_ {n}}$ только по степени свободы среды.

Отправной точкой теории Редфилда является Уравнение Накадзимы – Цванцига с ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ проектируя на оператор равновесной плотности среды и ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ лечится до второго порядка.^[2] Эквивалентный вывод начинается со второго порядка теория возмущений во взаимодействии ${ displaystyle H _ { text {int}}}$.^[3] В обоих случаях полученное уравнение движения для оператора плотности в картинка взаимодействия (с ${ displaystyle H_ {0, S} = H + H _ { text {env}}}$) является

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} rho _ {I} (t) = - { frac {1} { hbar ^ {2}}} sum _ {m, n} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '{ biggl (} C_ {mn} (t-t') { Bigl [} S_ {m, I} (t), S_ {n, I } (t ') rho _ {I} (t') { Bigr]} - C_ {mn} ^ { ast} (t-t ') { Bigl [} S_ {m, I} (t) , rho _ {I} (t ') S_ {n, I} (t') { Bigr]} { biggr)}}$

Здесь, ${ displaystyle t_ {0}}$ - некоторый начальный момент времени, когда предполагается, что общее состояние системы и ванны факторизовано, и мы ввели корреляционную функцию ванны ${ Displaystyle C_ {mn} (t) = { text {tr}} (E_ {m, I} (t) E_ {n} rho _ { text {env, eq}})}$ в терминах оператора плотности среды в тепловом равновесии, ${ displaystyle rho _ { text {env, eq}}}$.

Это уравнение нелокально по времени: чтобы получить производную оператора приведенной плотности в момент времени t, нам нужны его значения во все прошлые моменты времени. Таким образом, ее нелегко решить. Чтобы построить приближенное решение, обратите внимание, что есть две шкалы времени: типичное время релаксации ${ displaystyle tau _ {r}}$ который дает временную шкалу, в которой среда влияет на эволюцию системного времени, и время когерентности среды, ${ displaystyle tau _ {c}}$ это дает типичный временной масштаб, на котором корреляционные функции затухают. Если отношение

${ Displaystyle тау _ {с} ll тау _ {г}}$

то подынтегральное выражение становится приблизительно равным нулю до того, как оператор плотности картины взаимодействия существенно изменится. В этом случае так называемое марковское приближение ${ Displaystyle rho _ {I} (т ') приблизительно rho _ {I} (т)}$ держит. Если мы также переедем ${ displaystyle t_ {0} to - infty}$ и изменим переменную интегрирования ${ Displaystyle т ' к тау = т-т'}$, мы получаем главное уравнение Редфилда

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} rho _ {I} (t) = - { frac {1} { hbar ^ {2}}} sum _ {m, n} int _ {0} ^ { infty} d tau { biggl (} C_ {mn} ( tau) { Bigl [} S_ {m, I} (t), S_ {n, I} (t - tau) rho _ {I} (t) { Bigr]} - C_ {mn} ^ { ast} ( tau) { Bigl [} S_ {m, I} (t), rho _ {I} (t) S_ {n, I} (t- tau) { Bigr]} { biggr)}}$

Мы можем значительно упростить это уравнение, если воспользуемся ярлыком ${ displaystyle Lambda _ {m} = sum _ {n} int _ {0} ^ { infty} d tau C_ {mn} ( tau) S_ {n, I} (- tau)}$. На картинке Шредингера уравнение выглядит следующим образом:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} rho (t) = - { frac {i} { hbar}} [H, rho (t)] - { frac {1} { hbar ^ {2}}} sum _ {m} [S_ {m}, Lambda _ {m} rho (t) - rho (t) Lambda _ {m} ^ { dagger}] }$

Рекомендации

внешняя ссылка

• Brmesolve Решатель главного уравнения Блоха-Редфилда от QuTiP.