WikiDer > Тета-функция Римана – Зигеля

Riemann–Siegel theta function

В математика, то Тета-функция Римана – Зигеля определяется в терминах гамма-функция так как

для реальных ценностейт. Здесь аргумент выбирается таким образом, чтобы получилась непрерывная функция и выполняется, т. е. так же, как главный филиал из log-гамма функция определена.

Имеет асимптотическое разложение

который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для . Его ряд Тейлора в 0, сходящийся при является

куда обозначает полигамма функция порядка . Тета-функция Римана – Зигеля представляет интерес для изучения Дзета-функция Римана, поскольку он может повернуть дзета-функцию Римана так, чтобы она стала полностью действительной Z функция на критическая линия .

Кривая обсуждение

Тета-функция Римана – Зигеля является нечетной вещественная аналитическая функция для реальных ценностей т. Он имеет три корня в 0 и и это возрастающая функция для значений |т| > 6,29, поскольку имеет ровно один минимум и один максимум на с абсолютным значением . Наконец, он имеет уникальную точку перегиба при t = 0 с где тета-функция имеет минимум вывода.

Тета как функция комплексной переменной

У нас есть выражение в бесконечной серии для log-гамма функция

куда γ является Постоянная Эйлера. Подстановка за z почленно взяв мнимую часть, получаем следующий ряд для θ(т)

Для значений с мнимой частью от -1 до 1 функция арктангенса равна голоморфный, и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактах в области с мнимой частью между −1/2 и 1/2, что приводит к голоморфной функции в этой области. Отсюда следует, что Z функция также голоморфна в этой области, являющейся критической полосой.

Мы можем использовать личности

чтобы получить выражение в замкнутой форме

что расширяет наше первоначальное определение до голоморфной функции от т. Поскольку главная ветвь журнала Γ имеет единственную ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси, θ(т) в этом определении наследует сечения ветвей вдоль мнимой оси выше я/ 2 и ниже -я/2.

Тета-функция Римана – Зигеля на комплексной плоскости
Риман Сигель Тета 1.jpg
Риман Зигель Тета 2.jpg
Риман Зигель Тета 3.jpg

Грамм

Дзета-функцию Римана на критической прямой можно записать

Если это настоящий номер, то Z функция возвращается настоящий значения.

Следовательно, дзета-функция на критической линии будет настоящий когда. Положительные реальные значения где это происходит, называются Грамм, после Дж. П. Грам, и, конечно, также могут быть описаны как точки, где целое число.

А Точка грамма это решение из

Эти решения аппроксимируются последовательностью:

куда это W функция Ламберта.

Вот самые маленькие неотрицательные Грамм

−300
−23.4362182261...π
−19.6669080561...π
017.8455995405...0
123.1702827012...π
227.6701822178...2π
331.7179799547...3π
435.4671842971...4π
538.9992099640...5π
642.3635503920...6π
745.5930289815...7π
848.7107766217...8π
951.7338428133...9π
1054.6752374468...10π
1157.5451651795...11π
1260.3518119691...12π
1363.1018679824...13π
1465.8008876380...14π
1568.4535449175...15π

Выбор индекса п немного грубо. Исторически он выбирается таким образом, чтобы индекс был равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (в мнимой части 14,13472515 ...) дзета-функции Римана на критической линии. Обратите внимание, это -функция осциллирует для абсолютно малых вещественных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [-24,24]! Таким образом странный у тета-функции есть симметричная точка Грама со значением 0 при индексе -3. Точки Грама полезны при вычислении нулей . В точке Грама

и если это положительный в два последовательные точки Грама, в интервале должен быть ноль.

Согласно с Закон Грама, то реальная часть является обычно положительный, в то время как мнимая часть чередуется с точками Грама, между положительный и отрицательный значения через несколько регулярные интервалы.

Количество корней, , в полосе от 0 до Т, можно найти по

куда это член ошибки, который растет асимптотически как .

Только если подчиняться закону Грама, то определение количества корней в полосе просто становится

Сегодня мы знаем, что в конечном итоге Закон грама не может содержать ровно 1 нуль дзета-функции Римана примерно для 1/4 всех интервалов Грама. Грам опасался, что он может потерпеть неудачу для более крупных индексов (первый промах находится в индексе 126 перед 127-м нулем) и поэтому утверждал это только для не слишком высоких индексов. Позже Хатчинсон придумал фразу Закон грама для (ложного) утверждения, что все нули на критической прямой будут разделены точками Грама.

Смотрите также

Рекомендации

  • Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, Г-Н 0466039
  • Габке, В. (1979), Neue Herleitung und Expizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel. Тезис, Геттингенский университет. Исправленная версия (eDiss Göttingen 2015)
  • Грам, Дж. П. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann" (PDF), Acta Mathematica, 27 (1): 289–304, Дои:10.1007 / BF02421310

внешняя ссылка