WikiDer > Неравенство перестановки Рисса

Riesz rearrangement inequality

В математика, то Неравенство перестановки Рисса (иногда называют Рис-Соболев неравенство) утверждает, что для любых трех неотрицательных функций , и удовлетворяет неравенству

где , и являются симметричные убывающие перестановки функций , и соответственно.

История

Неравенство было впервые доказано Фриджес Рис в 1930 г.[1] и независимо опровергнутый С.Л. Соболевым в 1938 г. Его можно обобщить на произвольное (но конечное) число функций, действующих на произвольное число переменных.[2]

Приложения

Неравенство перестановки Рисса можно использовать для доказательства Неравенство Полиа – Сегё.

Доказательства

Одномерный случай

В одномерном случае неравенство сначала доказывается, когда функции , и находятся характеристические функции конечного объединения интервалов. Затем неравенство может быть расширено на характеристические функции измеримых множеств, на измеримые функции, принимающие конечное число значений, и, наконец, на неотрицательные измеримые функции.[3]

Многомерный случай

Чтобы перейти от одномерного случая к многомерному случаю, сферическая перестройка аппроксимируется симметризацией Штейнера, для которой одномерный аргумент применяется непосредственно теоремой Фубини.[4]

Случаи равенства

В случае, когда любая из трех функций является строго симметрично убывающей функцией, равенство выполняется только тогда, когда две другие функции равны, с точностью до трансляции, своим симметрично убывающим перестановкам.[5]

использованная литература

  1. ^ Рис, Фриджес (1930). "Sur une inégalité intégrale". Журнал Лондонского математического общества. 5 (3): 162–168. Дои:10.1112 / jlms / s1-5.3.162. Г-Н 1574064.
  2. ^ Brascamp, H.J .; Либ, Эллиот Х.; Латтинджер, Дж. М. (1974). «Общее неравенство перестановки для кратных интегралов». Журнал функционального анализа. 17: 227–237. Г-Н 0346109.
  3. ^ Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Поля, Г. (1952). Неравенства. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-35880-4.
  4. ^ Либ, Эллиотт; Потеря, Майкл (2001). Анализ. Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0821827833.
  5. ^ Бурчард, Альмут (1996). «Случаи равенства в неравенстве перестановки Рисса». Анналы математики. 143 (3): 499–527. CiteSeerX 10.1.1.55.3241. Дои:10.2307/2118534. JSTOR 2118534.