WikiDer > Неравенство Самуэльсона - Википедия

Samuelsons inequality - Wikipedia

В статистика, Неравенство Самуэльсонаимени экономиста Пол Самуэльсон,[1] также называется Неравенство Лагерра – Самуэльсона.,[2][3] после математика Эдмон Лагерр, утверждает, что каждый из любой коллекции Икс1, ..., Иксп, внутри п − 1 неисправленный образец Стандартное отклонение их выборочного среднего.

Формулировка неравенства

Если мы позволим

быть образцом иметь в виду и

- стандартное отклонение выборки, тогда

[4]

Равенство слева (или справа) для если и только если все п − 1 s кроме равны друг другу и больше (меньше) чем [2]

Сравнение с неравенством Чебышева

Неравенство Чебышева определяет определенную часть данных в определенных границах, а неравенство Самуэльсона определяет все точки данных в определенных пределах.

На границы, задаваемые неравенством Чебышева, не влияет количество точек данных, в то время как для неравенства Самуэльсона границы ослабляются по мере увеличения размера выборки. Таким образом, для достаточно больших наборов данных неравенство Чебичева более полезно.

Приложения

Неравенство Самуэльсона можно рассматривать как причину, по которой студенизация остатков должно быть сделано внешне.

Связь с многочленами

Самуэльсон был не первым, кто описал эти отношения: вероятно, первым Laguerre в 1880 г. при исследовании корни (нули) из многочлены.[2][5]

Рассмотрим многочлен со всеми действительными корнями:

Без ограничения общности пусть и разреши

и

потом

и

По коэффициентам

Лагер показал, что корни этого многочлена ограничены

куда

Осмотр показывает, что это иметь в виду корней и этого б стандартное отклонение корней.

Лагер не заметил этой связи со средними и стандартными отклонениями корней, его больше интересовали сами границы. Это соотношение позволяет быстро оценить границы корней и может быть использовано при их расположении.

Когда коэффициенты и равны нулю, невозможно получить информацию о расположении корней, потому что не все корни являются действительными (как видно из Правило знаков Декарта), если постоянный член также не равен нулю.

Рекомендации

  1. ^ Самуэльсон, Пол (1968). «Насколько девиантным вы можете быть?». Журнал Американской статистической ассоциации. 63 (324): 1522–1525. Дои:10.2307/2285901. JSTOR 2285901.
  2. ^ а б c Дженсен, Шейн Тайлер (1999). Неравенство Лагерра – Самуэльсона с расширениями и приложениями в статистике и теории матриц (PDF) (MSc). Кафедра математики и статистики, Университет Макгилла.
  3. ^ Дженсен, Шейн Т .; Стьян, Джордж П. Х. (1999). «Некоторые комментарии и библиография по неравенству Лагерра-Самуэльсона с расширениями и приложениями в статистике и теории матриц». Аналитические и геометрические неравенства и приложения. С. 151–181. Дои:10.1007/978-94-011-4577-0_10.
  4. ^ Barnett, Neil S .; Драгомир, Север Сильвестру (2008). Успехи в области неравенства из теории вероятностей и статистики. Nova Publishers. п. 164. ISBN 978-1-60021-943-6.
  5. ^ Лагер Э. (1880) Памятка для приближения algébrique racines d'une équation qui a toutes les racines réelles. Nouv Ann Math 2е серия, 19, 161–172, 193–202