WikiDer > Скорость рассеяния

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Математически можно вывести формулу для скорости рассеяние когда пучок электронов проходит через материал.

Картина взаимодействия

Определим невозмущенный гамильтониан как ${displaystyle H_ {0}}$, возмущающий гамильтониан, зависящий от времени, равен ${displaystyle H_ {1}}$ и полный гамильтониан ${displaystyle H}$.

Предполагается, что собственные состояния невозмущенного гамильтониана равны

${displaystyle H = H_ {0} + H_ {1}}$

${displaystyle H_ {0} | kangle = E (k) | kangle}$

в картинка взаимодействия, состояние ket определяется формулой

${displaystyle | k (t) angle _ {I} = e ^ {iH_ {0} t / hbar} | k (t) angle _ {S} = sum _ {k '} c_ {k'} (t) | k'angle}$

Автор Уравнение Шредингера, мы видим

${displaystyle ihbar {frac {partial} {partial t}} | угол k (t) _ {I} = H_ {1I} | угол k (t) _ {I}}$

которое является уравнением типа Шредингера с полным ${displaystyle H}$ заменен на ${displaystyle H_ {1I}}$.

Решение дифференциальное уравнение, мы можем найти коэффициент n-состояния.

${displaystyle c_ {k '} (t) = delta _ {k, k'} - {frac {i} {hbar}} int _ {0} ^ {t} dt '; langle k' | H_ {1} ( t ') | kangle, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {k'}) t '/ hbar}}$

где член нулевого порядка и член первого порядка равны

${displaystyle c_ {k '} ^ {(0)} = delta _ {k, k'}}$

${displaystyle c_ {k '} ^ {(1)} = - {frac {i} {hbar}} int _ {0} ^ {t} dt'; langle k '| H_ {1} (t') | kangle , e ^ {- i (E_ {k} -E_ {k '}) t' / hbar}}$

Скорость перехода

Вероятность нахождения ${displaystyle | k'angle}$ находится путем оценки ${displaystyle | c_ {k '} (t) | ^ {2}}$.

В случае постоянного возмущения${displaystyle c_ {k '} ^ {(1)}}$ рассчитывается

${displaystyle c_ {k '} ^ {(1)} = {frac {langle k' | H_ {1} | kangle} {E_ {k '} - E_ {k}}} (1-e ^ {i (E_ {k '} - E_ {k}) т / бар})}$

${displaystyle | c_ {k '} (t) | ^ {2} = | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ {2} {frac {sin ^ {2} ({frac {E_ {k '} -E_ {k}} {2hbar}} t)} {({frac {E_ {k '} - E_ {k}} {2hbar}}) ^ {2}}} {frac {1} {hbar ^ {2 }}}}$

Используя уравнение, которое

${displaystyle lim _ {alpha ightarrow infty} {frac {1} {pi}} {frac {sin ^ {2} (alpha x)} {alpha x ^ {2}}} = delta (x)}$

Скорость перехода электрона из начального состояния ${displaystyle k}$ до конечного состояния ${displaystyle k '}$ дан кем-то

${displaystyle P (k, k ') = {frac {2pi} {hbar}} | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ {2} delta (E_ {k '} - E_ {k})}$

куда ${displaystyle E_ {k}}$ и ${displaystyle E_ {k '}}$ - энергии начального и конечного состояний, включая состояние возмущения, и обеспечивает ${displaystyle delta}$-функция указывает на сохранение энергии.

Скорость рассеяния

Скорость рассеяния w (k) определяется суммированием всех возможных конечных состояний k ' рассеяние электронов от начального состояния k до конечного состояния k ', и определяется

${displaystyle w (k) = sum _ {k '} P (k, k') = {frac {2pi} {hbar}} sum _ {k '} | langle k' | H_ {1} | kangle | ^ { 2} дельта (E_ {k '} - E_ {k})}$

Интегральная форма

${displaystyle w (k) = {frac {2pi} {hbar}} {frac {L ^ {3}} {(2pi) ^ {3}}} int d ^ {3} k '| langle k' | H_ { 1} | kangle | ^ {2} дельта (E_ {k '} - E_ {k})}$

Рекомендации

• К. Хамагучи (2001). Основы физики полупроводников. Springer. С. 196–253.
• J.J. Сакурай. Современная квантовая механика. Эддисон Уэсли Лонгман. С. 316–319.