WikiDer > Тензор Схоутена

Schouten tensor

В Риманова геометрия, то Тензор Схоутена второго порядка тензор представлен Ян Арнольдус Схоутен. Он определен для п ≥ 3 к:

{ displaystyle P = { frac {1} {n-2}} left ( mathrm {Ric} - { frac {R} {2 (n-1)}} g right) , Leftrightarrow mathrm {Ric} = (n-2) P + Jg ,,}

где Рик Тензор Риччи (определяется сжатием первого и третьего индексов тензора Римана), р это скалярная кривизна, грамм это Риманова метрика, ${ displaystyle J = { frac {1} {2 (n-1)}} R}$ это след из п и п - размерность многообразия.

В Тензор Вейля равно Тензор кривизны Римана минус Кулькарни – Номидзу тензора Схоутена с метрикой. В индексной записи

{ displaystyle R_ {ijkl} = W_ {ijkl} + g_ {ik} P_ {jl} -g_ {jk} P_ {il} -g_ {il} P_ {jk} + g_ {jl} P_ {ik} , .}

Тензор Схоутена часто появляется в конформная геометрия из-за относительно простого закона конформного преобразования

{ displaystyle g_ {ij} mapsto Omega ^ {2} g_ {ij} Rightarrow P_ {ij} mapsto P_ {ij} - nabla _ {i} Upsilon _ {j} + Upsilon _ {i } Upsilon _ {j} - { frac {1} {2}} Upsilon _ {k} Upsilon ^ {k} g_ {ij} ,,}

куда ${ displaystyle Upsilon _ {i}: = Omega ^ {- 1} partial _ {i} Omega ,.}$

дальнейшее чтение

Артур Л. Бесс, Многообразия Эйнштейна. Springer-Verlag, 2007. См. Главу 1 §J «Конформные изменения римановых метрик».
Спирос Алексакис, Разложение глобальных конформных инвариантов. Princeton University Press, 2012. Ch.2, где в примечании отмечается, что тензор Схоутена является «скорректированным по трассе тензором Риччи» и может рассматриваться как «по существу тензор Риччи».
Вольфганг Кунель и Ханс-Берт Радемахер, "Конформные диффеоморфизмы, сохраняющие тензор Риччи", Proc. Амер. Математика. Soc. 123 (1995), нет. 9, 2841–2848. В сети eprint (pdf).
Т. Бэйли, М.Г. Иствуд и А. Говер, "Структура Томаса для конформных, проективных и родственных структур", Rocky Mountain Journal of Mathematics, вып. 24, номер 4, 1191-1217.

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.