WikiDer > Теорема Шура – ​​Цассенхауза

Schur–Zassenhaus theorem

В Теорема Шура – ​​Цассенхауза это теорема в теория групп в котором говорится, что если это конечная группа, и это нормальная подгруппа чей порядок является совмещать по приказу факторгруппа , тогда это полупрямой продукт (или раздельное расширение) и . Альтернативное утверждение теоремы состоит в том, что любой нормальный Подгруппа холла конечной группы имеет дополнять в . Более того, если либо или же разрешима, то теорема Шура – ​​Цассенхауза также утверждает, что все дополнения к в G находятся сопрягать. Предположение, что либо или же разрешимо, можно отбросить, поскольку оно всегда выполняется, но все известные доказательства этого требуют использования гораздо более сложных Теорема Фейта – Томпсона.

Теорема Шура – ​​Цассенхауза хотя бы частично отвечает на вопрос: «В серия композиций, как мы можем классифицировать группы с определенным набором композиционных факторов? »Другая часть, в которой композиционные факторы не имеют взаимно простых порядков, рассматривается в теория расширений.

История

Теорема Шура – ​​Цассенхауза была введена Zassenhaus (1937, 1958, Глава IV, раздел 7). Теорема 25, которую он приписывает Иссай Шур, доказывает существование дополнения, а теорема 27 доказывает, что все дополнения сопряжены в предположении, что или же разрешима. Нелегко найти явное утверждение о существовании дополнения в опубликованных работах Шура, хотя результаты Шура (1904, 1907) на Множитель Шура следует существование дополнения в частном случае, когда нормальная подгруппа находится в центре. Цассенхаус указал, что теорема Шура – ​​Цассенхауза для неразрешимых групп будет следовать, если все группы нечетного порядка разрешимы, что позже было доказано Фейтом и Томпсоном. Эрнст Витт показал, что это также следует из Гипотеза Шрайера (см. Витт (1998, p.277) для неопубликованной заметки Витта 1937 г. по этому поводу), но гипотеза Шрайера была доказана только с использованием классификации конечных простых групп, что намного сложнее, чем теорема Фейта – Томпсона.

Примеры

Если мы не наложим условие взаимной простой, теорема неверна: рассмотрим, например, циклическая группа и ее нормальная подгруппа . Тогда если были полупрямым продуктом и тогда должен содержать два элементы порядка 2, но содержит только один. Другой способ объяснить эту невозможность разделения (т. е. выражая его как полупрямой продукт), означает заметить, что автоморфизмы из являются тривиальная группа, поэтому единственно возможное [полу] прямое произведение сам с собой является прямым продуктом (который дает начало Кляйн четыре группы, группа, неизоморфная ).

Примером применимости теоремы Шура – ​​Цассенхауза является симметричная группа на 3-х символах, , имеющий нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную ) который, в свою очередь, индекс 2 в (по согласованию с теорема Лагранжа), так . Поскольку 2 и 3 взаимно просты, применима теорема Шура – ​​Цассенхауза и . Отметим, что группа автоморфизмов является и автоморфизм используется в полупрямом продукте, который приводит к - нетривиальный автоморфизм, который переставляет два неединичных элемента . Кроме того, три подгруппы порядка 2 в (любой из которых может служить дополнением к в ) сопряжены друг с другом.

Нетривиальность (дополнительного) заключения о сопряженности можно проиллюстрировать с помощью четырехгруппы Клейна как не пример. Любая из трех собственных подгрупп группы (все они имеют порядок 2) нормально в ; фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняет ее в , но ни одна из этих трех подгрупп является сопряженным с любым другим, потому что является Абелев.

В группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу] прямым произведением. В работах Шура начала ХХ века введено понятие центральное расширение чтобы обратиться к таким примерам, как и кватернионы.

Доказательство

Существование дополнения к нормальной холловой подгруппе ЧАС конечной группы грамм можно доказать в следующих шагах:

  1. По индукции по порядку грамм, можно предположить, что это верно для любой меньшей группы.
  2. Если ЧАС абелева, то существование дополнения следует из того, что группа когомологий ЧАС2(грамм/ЧАС,ЧАС) исчезает (как ЧАС и грамм/ЧАС имеют взаимно простые порядки), а тот факт, что все дополнения сопряжены, следует из обращения в нуль ЧАС1(грамм/ЧАС,ЧАС).
  3. Если ЧАС разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу А что характерно для ЧАС и поэтому нормально в грамм. Применяя теорему Шура – ​​Цассенхауза к грамм/А сводит доказательство к случаю, когда ЧАС=А является абелевым, что и было сделано на предыдущем шаге.
  4. Если нормализатор N=Nграмм(п) каждого п-Sylow подгруппа п из ЧАС равно грамм, тогда ЧАС нильпотентна и, в частности, разрешима, поэтому теорема следует из предыдущего шага.
  5. Если нормализатор N=Nграмм(п) некоторых п-Sylow подгруппа п из ЧАС меньше чем грамм, то по индукции теорема Шура – ​​Цассенхауза верна для N, и дополнение NЧАС в N является дополнением к ЧАС в грамм потому что грамм=NH.

Рекомендации