WikiDer > Неравенство Седракянов - Википедия

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья является сирота, как никакие другие статьи ссылка на это. Пожалуйста ввести ссылки на эту страницу из Статьи по Теме; попробуйте Инструмент поиска ссылок для предложений. (Август 2018 г.) Тема этой статьи может не соответствовать Википедии общее руководство по известности. Пожалуйста, помогите продемонстрировать известность темы, цитируя надежные вторичные источники которые независимый темы и обеспечить ее подробное освещение, помимо банального упоминания. Если известность не может быть продемонстрирована, статья, скорее всего, будет слился, перенаправлен, или же удалено. Найдите источники: «Неравенство Седракяна» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Сентябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Похоже, что один из основных авторов этой статьи тесная связь со своим предметом. Может потребоваться очистка для соответствия политике содержания Википедии, в частности нейтральная точка зрения. Пожалуйста, обсудите подробнее страница обсуждения. (Сентябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Следующее неравенство известно как Неравенство Седракяна, Форма Энгеля или же Лемма Титусоответственно со ссылкой на статью «О приложениях одного полезного неравенства" из Наири Седракян опубликовано в 1997 г.,^[1] к книге Стратегии решения проблем из Артур Энгель (математик) опубликовано в 1998 г. и к книге Сокровища математической олимпиады из Титу Андрееску опубликовано в 2003 году.^[2][3]Это прямое следствие Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Тем не менее, в своей статье (1997) Седракян заметил, что записанное в такой форме неравенство может быть использовано как математический метод доказательства и имеет очень полезный новые приложения. В книге Алгебраические неравенства (Седракян) приведены несколько обобщений этого неравенства.^[4]

Формулировка неравенства (Наири Седракян (1997), Артур Энгель (математик) (1998), Титу Андрееску (2003))

Для любых реалов ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}}$ и положительные реалы ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, ldots, b_ {n}}$, у нас есть ${ displaystyle { frac {a_ {1} ^ {2}} {b_ {1}}} + { frac {a_ {2} ^ {2}} {b_ {2}}} + cdots + { гидроразрыв {a_ {n} ^ {2}} {b_ {n}}} geq { frac {(a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}) ^ {2}} {b_ {1} + b_ {2} + cdots + b_ {n}}}.}$

Прямые приложения

Пример 1. Неравенство Несбитта.

Для положительных вещественных чисел ${ displaystyle a, b, c}$ у нас есть это ${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}$

Пример 2. Международная математическая олимпиада (ИМО) 1995.

Для положительных вещественных чисел ${ displaystyle a, b, c}$, куда ${ displaystyle abc = 1}$ у нас есть это ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {3} (b + c)}} + { frac {1} {b ^ {3} (b + c)}} + { frac {1} { c ^ {3} (a + b)}} geq { frac {3} {2}}.}$

Пример 3.

Для положительных вещественных чисел ${ displaystyle a, b}$ у нас есть это ${ displaystyle 8 (a ^ {4} + b ^ {4}) geq (a + b) ^ {4}.}$

Пример 4.

Для положительных вещественных чисел ${ displaystyle a, b, c}$ у нас есть это ${ displaystyle { frac {1} {a + b}} + { frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} geq { frac {9} { 2 (a + b + c)}}.}.$

Доказательства

Пример 1.

У нас есть это ${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} = { frac {a ^ {2 }} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (a + c)}} + { frac {c ^ {2}} {c (a + b)} } geq { frac {(a + b + c) ^ {2}} {2 (ab + bc + ac)}} geq { frac {3} {2}}.}$

Пример 2.

У нас есть это ${ displaystyle { frac {{ Big (} { frac {1} {a}} { Big)} ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {{ Big ( } { frac {1} {b}} { Big)} ^ {2}} {b (a + c)}} + { frac {{ Big (} { frac {1} {c}} { Big)} ^ {2}} {c (a + b)}} geq { frac {{ Big (} { frac {1} {a}} + { frac {1} {b}) } + { frac {1} {c}} { Big)} ^ {2}} {2 (ab + bc + ac)}} = { frac {ab + bc + ac} {2}} geq { frac {3 { sqrt [{3}] {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}}}} {2}} = { frac {3} {2}}.}$

Пример 3.

У нас есть это ${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = { frac {a ^ {4}} {1}} + { frac {b ^ {4}} {1}} geq { frac { (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}} {2}} geq { frac {{ Big (} { frac {(a + b) ^ {2}} {2}) } { Big)} ^ {2}} {2}} = { frac {(a + b) ^ {4}} {8}}.}$

Пример 4.

У нас есть это ${ displaystyle { frac {1} {a + b}} + { frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} geq { frac {(1+ 1 + 1) ^ {2}} {2 (a + b + c)}} = { frac {9} {2 (a + b + c)}}.}.}$

Рекомендации