WikiDer > Гипотезы Серра о множественности - Википедия

В математика, Гипотезы Серра о множественности, названный в честь Жан-Пьер Серр, являются некоторыми чисто алгебраическими задачами, в коммутативная алгебра, мотивированные потребностями алгебраическая геометрия. С Андре Вайльпервоначальное определение номера перекрестковПримерно в 1949 году встал вопрос о том, как создать более гибкую и вычислимую теорию.

Позволять р быть (нётеровым, коммутативным) обычное местное кольцо и п и Q быть главные идеалы из р. В 1958 году Серр понял, что классические алгебро-геометрические идеи множественности могут быть обобщены, используя концепции гомологическая алгебра. Серр определил кратность пересечения из р/п и р/Q с помощью Функторы Tor из гомологическая алгебра, так как

${ displaystyle chi (R / P, R / Q): = sum _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {i} ell _ {R} ( operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (R / P, R / Q)).}$

Это требует концепции длина модуля, обозначаемый здесь ${ displaystyle ell _ {R}}$, и предположение, что

${ Displaystyle ell _ {R} ((R / P) otimes (R / Q)) < infty.}$

Однако, если бы эта идея сработала, некоторые классические отношения, вероятно, должны были бы сохраниться. Серр выделил четыре важных свойства. Затем это превратилось в предположения, которые в общем случае были спорными. (Есть более общие формулировки этих гипотез, где р/п и р/Q заменяются конечно порожденными модулями: см. Серра Локальная алгебра Больше подробностей.)

Неравенство размерностей

${ Displaystyle тусклый (р / п) + тусклый (р / Q) leq тусклый (р)}$

Серр доказал это для всех регулярных локальных колец. Он установил следующие три свойства, когда р имеет либо равные характеристики, либо смешанные характеристики и неразветвленные (что в данном случае означает, что характеристика поле вычетов не является элементом квадрата максимального идеала локального кольца), и предположил, что они верны в общем случае.

Неотрицательность

${ Displaystyle чи (р / п, р / Q) geq 0}$

Это было доказано Офер Габбер в 1995 г.

Исчезновение

Если

${ Displaystyle тусклый (р / п) + тусклый (р / Q) < тусклый (р) }$

тогда

${ Displaystyle чи (р / п, р / Q) = 0. }$

Это было доказано в 1985 г. Пол С. Робертс, и независимо Анри Жилле и Кристоф Суле.

Позитивность

Если

${ Displaystyle тусклый (р / п) + тусклый (р / Q) = тусклый (р) }$

тогда

${ Displaystyle чи (R / P, R / Q)> 0. }$

Это остается открытым.

Смотрите также

• Гомологические гипотезы коммутативной алгебры

Рекомендации

• Серр, Жан-Пьер (2000), Локальная алгебра, Берлин: Springer, стр. 106–110, Дои:10.1007/978-3-662-04203-8, МИСТЕР 1771925
• Робертс, Пол (1985), Исчезновение кратностей пересечений совершенных комплексов, Бык. Амер. Математика. Soc. 13, нет. 2. С. 127–130, Дои:10.1090 / S0273-0979-1985-15394-7, МИСТЕР 0799793
• Робертс, Пол (1998), Последние разработки гипотез Серра о множественности: доказательство Габбером гипотезы о неотрицательности, L 'Enseign. Математика. (2) 44, вып. 3-4, стр. 305–324, МИСТЕР 1659224
• Бертело, Пьер (1997), Альтернативные варианты альтернатив (d'après A. J. de Jong), Séminaire Bourbaki, Vol. 1995/96, Astérisque No. 241, стр. 273–311, МИСТЕР 1472543
• Gillet, H .; Суле, К. (1987), Теория пересечений с использованием операций Адамса., Изобретать. Математика. 90, нет. 2. С. 243–277, Дои:10.1007 / BF01388705, МИСТЕР 0910201
• Габбер, О. (1995), Неотрицательность множественности пересечений Серра, Exposé à L’IHES