WikiDer > Сорт Севери – Брауэра
В математика, а Сорт Севери – Брауэра через поле K является алгебраическое многообразие V который становится изоморфный к проективное пространство над алгебраическое замыкание из K. Сорта связаны с центральные простые алгебры таким образом, что алгебра распадается на K тогда и только тогда, когда многообразие имеет точку, рациональную над K.[1] Франческо Севери (1932) изучили эти разновидности, и они также названы в честь Ричард Брауэр из-за их близкого отношения к Группа Брауэра.
В размерности один многообразия Севери – Брауэра являются коники. Соответствующие центральные простые алгебры - это кватернионные алгебры. Алгебра (а,б)K соответствует конической C(а,б) с уравнением
и алгебра (а,б)K раскол, то есть, (а,б)K изоморфен матричная алгебра над K, если и только если C(а,б) имеет точку, определенную над K: это, в свою очередь, эквивалентно C(а,б), изоморфный проективная линия над K.[1][2]
Такие сорта интересны не только в диофантова геометрия, но и в Когомологии Галуа. Они представляют (по крайней мере, если K это идеальное поле) Классы когомологий Галуа вЧАС1(PGLп),куда PGLпэто проективная линейная группа, и п это измерение разнообразия V. Существует короткая точная последовательность
- 1 → GL1 → GLп → PGLп → 1
из алгебраические группы. Это означает связывающий гомоморфизм
- ЧАС1(PGLп) → ЧАС2(GL1)
на уровне когомологий. Здесь ЧАС2(GL1) отождествляется с Группа Брауэра из K, а ядро тривиально, потому чтоЧАС1(GLп) = {1} расширением Теорема Гильберта 90.[3][4] Следовательно, многообразия Севери – Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т.е. классами центральные простые алгебры.
Лихтенбаум показал, что если Икс является многообразием Севери – Брауэра над K тогда есть точная последовательность
Здесь отображение δ переводит 1 в класс Брауэра, соответствующий Икс.[2]
Как следствие, мы видим, что если класс Икс есть заказ d в группе Брауэра имеется класс делителя степени d на Икс. Связанный линейная система определяет d-мерное вложение Икс над полем расщепления L.[5]
Смотрите также
Примечание
- ^ а б Джейкобсон (1996) стр.113
- ^ а б Гилле и Самуэли (2006) стр.129
- ^ Гилле и Самуэли (2006), стр.26
- ^ Бергюи, Грегори (2010), Введение в когомологии Галуа и их приложения, Серия лекций Лондонского математического общества, 377, Издательство Кембриджского университета, п. 113, ISBN 0-521-73866-0, Zbl 1207.12003
- ^ Гилле и Самуэли (2006) стр.131
Рекомендации
- Артин, Майкл (1982), "Разновидности Брауэра-Севери", Группы Брауэра в теории колец и алгебраической геометрии (Wilrijk, 1981), Конспект лекций по математике, 917, Примечания А. Вершорена, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 194–210, Дои:10.1007 / BFb0092235, ISBN 978-3-540-11216-7, МИСТЕР 0657430, Zbl 0536.14006
- «Сорт Брауэра – Севери», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
- Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), «Разновидности Севери – Брауэра», Центральные простые алгебры и когомологии Галуа, Кембриджские исследования по высшей математике, 101, Издательство Кембриджского университета, стр. 114–134, ISBN 0-521-86103-9, МИСТЕР 2266528, Zbl 1137.12001
- Джейкобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-57029-2, Zbl 0874.16002
- Солтман, Дэвид Дж. (1999), Лекции по алгебрам с делением, Серия региональных конференций по математике, 94, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0979-2, Zbl 0934.16013
- Севери, Франческо (1932), "Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica", Memorie della Reale Accademia d'Italia (на итальянском), 3 (5), перепечатанный в томе 3 его собрания сочинений
дальнейшее чтение
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций, Публикации коллоквиума, 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0904-0, МИСТЕР 1632779, Zbl 0955.16001