WikiDer > Сорт Севери – Брауэра

Severi–Brauer variety

В математика, а Сорт Севери – Брауэра через поле K является алгебраическое многообразие V который становится изоморфный к проективное пространство над алгебраическое замыкание из K. Сорта связаны с центральные простые алгебры таким образом, что алгебра распадается на K тогда и только тогда, когда многообразие имеет точку, рациональную над K.[1] Франческо Севери (1932) изучили эти разновидности, и они также названы в честь Ричард Брауэр из-за их близкого отношения к Группа Брауэра.

В размерности один многообразия Севери – Брауэра являются коники. Соответствующие центральные простые алгебры - это кватернионные алгебры. Алгебра (а,б)K соответствует конической C(а,б) с уравнением

и алгебра (а,б)K раскол, то есть, (а,б)K изоморфен матричная алгебра над K, если и только если C(а,б) имеет точку, определенную над K: это, в свою очередь, эквивалентно C(а,б), изоморфный проективная линия над K.[1][2]

Такие сорта интересны не только в диофантова геометрия, но и в Когомологии Галуа. Они представляют (по крайней мере, если K это идеальное поле) Классы когомологий Галуа вЧАС1(PGLп),куда PGLпэто проективная линейная группа, и п это измерение разнообразия V. Существует короткая точная последовательность

1 → GL1GLпPGLп → 1

из алгебраические группы. Это означает связывающий гомоморфизм

ЧАС1(PGLп) → ЧАС2(GL1)

на уровне когомологий. Здесь ЧАС2(GL1) отождествляется с Группа Брауэра из K, а ядро ​​тривиально, потому чтоЧАС1(GLп) = {1} расширением Теорема Гильберта 90.[3][4] Следовательно, многообразия Севери – Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т.е. классами центральные простые алгебры.

Лихтенбаум показал, что если Икс является многообразием Севери – Брауэра над K тогда есть точная последовательность

Здесь отображение δ переводит 1 в класс Брауэра, соответствующий Икс.[2]

Как следствие, мы видим, что если класс Икс есть заказ d в группе Брауэра имеется класс делителя степени d на Икс. Связанный линейная система определяет d-мерное вложение Икс над полем расщепления L.[5]

Смотрите также

Примечание

  1. ^ а б Джейкобсон (1996) стр.113
  2. ^ а б Гилле и Самуэли (2006) стр.129
  3. ^ Гилле и Самуэли (2006), стр.26
  4. ^ Бергюи, Грегори (2010), Введение в когомологии Галуа и их приложения, Серия лекций Лондонского математического общества, 377, Издательство Кембриджского университета, п. 113, ISBN 0-521-73866-0, Zbl 1207.12003
  5. ^ Гилле и Самуэли (2006) стр.131

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка