WikiDer > Неравенство Шапиро

Shapiro inequality

В математика, то Неравенство Шапиро является неравенство предложена Х. Шапиро в 1954 г.

Формулировка неравенства

Предполагать ${displaystyle n}$ это натуральное число и ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}}$ находятся положительные числа и:

${displaystyle n}$ четно и меньше или равно ${displaystyle 12}$ , или же
${displaystyle n}$ нечетное и меньше или равно ${displaystyle 23}$ .

Тогда Неравенство Шапиро утверждает, что

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {x_ {i}} {x_ {i + 1} + x_ {i + 2}}} geq {frac {n} {2}}}

куда ${displaystyle x_ {n + 1} = x_ {1}, x_ {n + 2} = x_ {2}}$ .

Для больших значений ${displaystyle n}$ неравенство не выполняется и строгая нижняя оценка ${displaystyle gamma {frac {n} {2}}}$ с ${displaystyle gamma около 0,9891 точек}$ .

Первоначальные доказательства неравенства в основных случаях ${displaystyle n = 12}$ (Годунова, Левин, 1976) и ${displaystyle n = 23}$ (Troesch, 1989) полагаются на численные вычисления. В 2002 г. П. Дж. Бушелл и Дж. Б. Маклеод опубликовали аналитическое доказательство ${displaystyle n = 12}$ .

Значение ${displaystyle gamma}$ был определен в 1971 г. Владимир Дринфельд. В частности, он доказал, что строгая нижняя оценка ${displaystyle gamma}$ дан кем-то ${displaystyle {frac {1} {2}} psi (0)}$ , где функция ${displaystyle psi}$ выпуклая оболочка ${displaystyle f (x) = e ^ {- x}}$ и ${displaystyle g (x) = {гидроразрыв {2} {e ^ {x} + e ^ {гидроразрыв {x} {2}}}}}$ . (То есть область над графиком ${displaystyle psi}$ это выпуклый корпус объединения регионов над графиками ' ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ .)^[1]