WikiDer > Неравенство Шапиро

Shapiro inequality

В математика, то Неравенство Шапиро является неравенство предложена Х. Шапиро в 1954 г.

Формулировка неравенства

Предполагать это натуральное число и находятся положительные числа и:

  • четно и меньше или равно , или же
  • нечетное и меньше или равно .

Тогда Неравенство Шапиро утверждает, что

куда .

Для больших значений неравенство не выполняется и строгая нижняя оценка с .

Первоначальные доказательства неравенства в основных случаях (Годунова, Левин, 1976) и (Troesch, 1989) полагаются на численные вычисления. В 2002 г. П. Дж. Бушелл и Дж. Б. Маклеод опубликовали аналитическое доказательство.

Значение был определен в 1971 г. Владимир Дринфельд. В частности, он доказал, что строгая нижняя оценка дан кем-то , где функция выпуклая оболочка и . (То есть область над графиком это выпуклый корпус объединения регионов над графиками ' и .)[1]

Внутренние локальные минимумы левой части всегда (Новосад, 1968).

Контрпримеры для высших

Первый контрпример был найден Лайтхиллом в 1956 году для :

куда близко к 0.

Тогда левая часть равна , поэтому меньше 10, когда достаточно мала.

Следующий контрпример для от Троеша (1985):

(Трэш, 1985)

Рекомендации

  1. ^ Дринфельд В. Г. (1971-02-01). «Циклическое неравенство». Математические заметки АН СССР.. 9 (2): 68–71. Дои:10.1007 / BF01316982. ISSN 1573-8876. S2CID 121786805.
  • Финк, А. (1998). «Неравенство Шапиро». В Градимире В. Милованович, Г. В. (ред.). Недавний прогресс в неравенстве. Посвящается профессору Драгославу С. Митриновичу. Математика и ее приложения (Дордрехт). 430. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001.
  • Бушелл, П.Дж .; Маклеод, Дж. Б. (2002). «Циклическое неравенство Шапиро для четных n» (PDF). J. Inequal. Приложение. 7 (3): 331–348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010. Они дают аналитическое доказательство формулы для четных , откуда результат для всех следует. Они заявляют как открытая проблема.

внешняя ссылка