WikiDer > Формула шнурков

Shoelace formula
Shoelace3.png

В формула шнурка или же алгоритм шнурка (также известен как Формула площади Гаусса и формула сюрвейера[1]) является математическим алгоритм определить площадь из простой многоугольник чьи вершины описываются своими Декартовы координаты в плоскости.[2] Пользователь перекрестное умножение соответствующие координаты, чтобы найти область, охватывающую многоугольник, и вычитает ее из окружающего многоугольника, чтобы найти область внутри многоугольника. Это называется формулой шнурка из-за постоянного перемножения координат, составляющих многоугольник, как завязывание шнурков.[2] Его также иногда называют шнурок метод. Применяется в геодезии и лесном хозяйстве,[3] среди других областей.

Формула была описана Мейстером (1724–1788) в 1769 году.[4] и по Гаусс в 1795 г.[требуется полная цитата] Это можно проверить, разделив многоугольник на треугольники, и его можно рассматривать как частный случай Теорема Грина.

Формула площади получается путем взятия каждого края AB, и вычисляя площадь треугольника ABO с вершиной в начале координат О, взяв перекрестное произведение (которое дает площадь параллелограмма) и разделив его на 2. При обтекании многоугольника эти треугольники с положительной и отрицательной площадью будут перекрываться, а области между исходной точкой и многоугольником будут аннулированы. out и суммировать до 0, при этом остается только область внутри ссылочного треугольника. Вот почему формула называется формулой геодезиста, поскольку «геодезист» стоит в начале координат; при движении против часовой стрелки положительная область добавляется при движении слева направо и отрицательная область добавляется при движении справа налево с точки зрения исходной точки.[нужна цитата]

Формула площади также может быть применена к самоперекрывающимся полигонам, поскольку значение площади по-прежнему понятно, хотя самоперекрывающиеся полигоны обычно не просты.[5] Более того, самоперекрывающийся многоугольник может иметь несколько «интерпретаций», но формула Shoelace может использоваться, чтобы показать, что площадь многоугольника одинакова независимо от интерпретации.[6]

Заявление

Формулу можно представить выражением

куда

  • А площадь многоугольника,
  • п - количество сторон многоугольника, а
  • (Иксяуя), я = 1, 2,..., п упорядоченные вершины (или «углы») многоугольника.

Альтернативно[3][7][8]

кудаИксп+1 = Икс1 и Икс0 = Иксп,а такжеуп+1 = у1 и у0 = уп.

Если точки помечены последовательно против часовой стрелки, то сумма указанных выше детерминанты положительно, и знаки абсолютного значения можно опустить;[1] если они помечены по часовой стрелке, сумма определителей будет отрицательной. Это потому, что формулу можно рассматривать как частный случай Теорема Грина.

Особенно краткое изложение формулы можно дать в терминах внешняя алгебра. Если - последовательные вершины многоугольника (рассматриваемые как векторы в декартовой плоскости), то

Доказательства

Доказательство треугольника

Зная координаты треугольника, найдите его площадь .

Ссылаясь на рисунок, пусть - площадь треугольника, вершины которого задаются координатами и Нарисуйте прямоугольник с минимальной площадью вокруг треугольника так, чтобы его стороны были параллельны или же топоры. По крайней мере, одна вершина треугольника будет в углу прямоугольника. На рисунке площади трех окружающих треугольников равны и Очевидно равна площади прямоугольника (назовем его ) минус площади остальных трех треугольников. Уравнение, описывающее эту взаимосвязь:

При осмотре рисунка видно, что площади даны как

Сбор сроков и перестановка урожаев

который можно записать как определитель

Если координаты записывать по часовой стрелке, то значение определителя будет

Переставляем по-другому

которая является формой формулы шнурка. Эту формулу можно расширить, чтобы найти площадь любого многоугольника, поскольку простой многоугольник можно разделить на треугольники.

По координатам четырехугольника найдите его площадь .

Доказательство для четырехугольника и общего многоугольника

Нахождение площади четырехугольника демонстрирует, как формула шнурков обобщается на любой многоугольник путем деления многоугольника на треугольники. Рассмотрим фигуру четырехугольника, координаты которого отмечены в порядке против часовой стрелки. Четырехугольник разделен на два треугольника с площадями и Используя формулу треугольника для каждого треугольника, мы получаем

Поскольку оба треугольника были начерчены против часовой стрелки, обе области положительны, и мы получаем площадь четырехугольника, складывая две области. Последний положительный член и последний отрицательный член отменить с первым положительным членом и первым отрицательным членом давая

Примеры

Пользователь должен знать точки многоугольника на декартовой плоскости. Например, возьмите треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьми первый Икс-координируйте и умножьте на секунду у-значение, затем возьмем второе Икс-координируйте и умножьте на треть у-значение, и повторите столько раз, пока это не будет сделано для всех требуемых очков. Это можно определить по следующей формуле:[9]

за Икся и уя представляющий каждую соответствующую координату. Эта формула является просто расширением приведенных выше для случая n = 3. Используя ее, можно найти, что площадь треугольника равна половине абсолютная величина из 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, что равно 3. Количество переменных зависит от количества сторон многоугольник. Например, пятиугольник будет определено до Икс5 и у5:

А четырехугольник будет определено до Икс4 и у4:

Более сложный пример

Рассмотрим многоугольник, определяемый точками (3,4), (5,11), (12,8), (9,5) и (5,6), который показан на следующей диаграмме:

Рисунок этого примера

Площадь этого многоугольника:

Этимология

Shoelace3.png

Причина, по которой эта формула называется формулой шнурка, заключается в том, что для ее оценки используется общий метод. Этот метод использует матрицы. В качестве примера выберите треугольник с вершинами (2,4), (3, −8) и (1,2). Затем постройте следующую матрицу, «обойдя» треугольник и закончив его начальной точкой.[10]

Сначала проведите диагональ вниз и вправо косой чертой (как показано ниже),

  ShoelaceMatrix2.GIF

и умножьте два числа, соединенных каждой косой чертой, затем сложите все произведения: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделайте то же самое с косой чертой по диагонали вниз и влево (показано ниже с косой чертой вниз):

  ShoelaceMatrix3.GIF

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем возьмите разность этих двух чисел: | (−6) - (8) | = 14. Уменьшение вдвое дает площадь треугольника: 7. Такая организация чисел упрощает вспоминание и оценку формулы. Матрица со всеми прорисованными косыми чертами напоминает туфлю с натянутыми шнурками, что дает название алгоритму.

Смотрите также

внешняя ссылка

Рекомендации

  1. ^ а б Барт Брейден (1986). "Формула площади геодезиста" (PDF). Математический журнал колледжа. 17 (4): 326–337. Дои:10.2307/2686282. JSTOR 2686282.
  2. ^ а б Дальке, Карл. «Формула шнурков». Получено 9 июн 2008.
  3. ^ а б Ганс Преч, Динамика, прирост и урожайность леса: от измерения к модели, Springer, 2009, ISBN 3-540-88306-1, п. 232.
  4. ^ Мейстер, А. Л. Ф. (1769), "Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earumffectionibus", Nov. Com. Gött. (на латыни), 1: 144.
  5. ^ П.В. Шор; C.J. Ван Вик (1992), "Обнаружение и разложение самоперекрывающихся кривых", Comput. Геом. Теория Appl., 2 (1): 31–50, Дои:10.1016 / 0925-7721 (92) 90019-О
  6. ^ Ральф П. Боланд; Хорхе Уррутия (2000). Проблемы с полигональной областью. 12-я Канадская конференция по вычислительной геометрии. С. 159–162.
  7. ^ Теорема шнурка, Искусство решения проблем вики.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В.. «Площадь полигона». Вольфрам MathWorld. Получено 24 июля 2012.
  9. ^ Ричард Роад; Георгий Милаускас; Роберт Уиппл (1991). Геометрия для удовольствия и вызова (новое изд.). Макдугал Литтел. стр.717–718. ISBN 0-86609-965-4.
  10. ^ Руководство IMSA JHMC, стр. 10 "Шнурки" Синди Си