WikiDer > Преобразования синуса и косинуса

Sine and cosine transforms

В математика, Фурье преобразования синуса и косинуса формы Интегральное преобразование Фурье которые не используют сложные числа. Это формы, которые изначально использовались Жозеф Фурье и по-прежнему предпочтительны в некоторых приложениях, таких как обработка сигналов или же статистика.[1]

Определение

В Преобразование синуса Фурье из ж (т), иногда обозначается либо или же , является

Если т значит время, тогда ν - частота в циклах в единицу времени, но абстрактно они могут быть любой парой переменных, которые двойственны друг другу.

Это преобразование обязательно нечетная функция частоты, т.е. для всех ν:

Числовые факторы в Преобразования Фурье однозначно определяются только своим продуктом. Здесь, чтобы формула обращения Фурье не имела числового множителя, множитель 2 появляется, потому что синусоидальная функция имеет L2 норма

В Косинусное преобразование Фурье из ж (т), иногда обозначается либо или же , является

Это обязательно даже функция частоты, т.е. для всех ν:

Некоторые авторы[2] определить только косинусное преобразование для четные функции из т, и в этом случае его синусоидальное преобразование равно нулю. Поскольку косинус также четный, можно использовать более простую формулу:

Аналогично, если ж является нечетная функция, то косинусное преобразование равно нулю, а синусоидальное преобразование можно упростить до

Другие авторы также определяют косинусное преобразование как[3]

и синус как

Обращение Фурье

Исходная функция ж можно восстановить из его преобразования при обычных предположениях, что ж и оба его преобразования должны быть абсолютно интегрируемыми. Подробнее о различных гипотезах см. Теорема обращения Фурье.

Формула обращения:[4]

которое имеет то преимущество, что все количества реальны. Используя формулу сложения для косинус, это можно переписать как

Если исходная функция ж является даже функция, то преобразование синуса равно нулю; если ж является нечетная функция, то косинус-преобразование равно нулю. В любом случае формула обращения упрощается.

Связь с комплексными показателями

Форма преобразование Фурье чаще используется сегодня

Числовая оценка

Использование стандартных методов численной оценки интегралов Фурье, таких как квадратурная формула Гаусса или тангенса угла зрения, может привести к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства представляющих интерес интегрантов) очень плохо обусловлена. требуется структура колебания, примером которой является метод Оуры для интегралов Фурье[5] Этот метод пытается оценить подынтегральную функцию в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебания (синус или косинус), быстро уменьшая величину суммируемых положительных и отрицательных членов.

Смотрите также

Рекомендации

  • Уиттакер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа, Четвертое издание, Cambridge Univ. Press, 1927, с. 189, 211
  1. ^ «Основные моменты истории преобразования Фурье». pulse.embs.org. Получено 2018-10-08.
  2. ^ Мэри Л. Боас, Математические методы в физических науках, 2-е изд., John Wiley & Sons Inc., 1983. ISBN 0-471-04409-1
  3. ^ «Преобразование Фурье, косинусное и синусоидальное преобразование». cnyack.homestead.com. Получено 2018-10-08.
  4. ^ Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория пропаганды шалера. Париж: Ж. Карре. С. 108 и далее.
  5. ^ Такуя Оура, Масатаке Мори, Робастная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье, Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.