WikiDer > Sl2-трехместный

В теории Алгебры Ли, сл₂-тройной - тройка элементов алгебры Ли, удовлетворяющих коммутационным соотношениям между стандартными образующими специальный линейный Алгебра Ли сл₂. Это понятие играет важную роль в теории полупростые алгебры Ли, особенно в отношении их нильпотентные орбиты.

Определение

Elements {е,час,ж} алгебры Ли грамм для мужчин сл₂-тройной если

${displaystyle [h, e] = 2e, quad [h, f] = - 2f, quad [e, f] = h.}$

Этим коммутационным соотношениям удовлетворяют образующие

${displaystyle h = {egin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1end {bmatrix}}, quad e = {egin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0end {bmatrix}}, quad f = {egin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0end {bmatrix}} }$

алгебры Ли сл₂ матриц 2 на 2 с нулем след. Следует, что сл₂-тройки в грамм находятся в биективном соответствии с алгеброй Ли гомоморфизмы из сл₂ в грамм.

Альтернативное обозначение элементов сл₂-triple is {ЧАС, Икс, Y}, с ЧАС соответствующий час, Икс соответствующий е, и Y соответствующий ж.

Характеристики

Предположить, что грамм является конечномерной алгеброй Ли над поле из характеристика ноль. Из теории представлений алгебры Ли сл₂, заключаем, что алгебра Ли грамм распадается в прямую сумму конечномерных подпространств, каждое из которых изоморфно V_j, (j + 1) -мерный простой сл₂-модуль с самый высокий вес j. Элемент час из сл₂-тройка полупроста, с простым собственные значения j, j − 2, …, −j на подмодуле грамм изоморфен V_j . Элементы е и ж перемещаться между разными собственными подпространствами час, увеличивая собственное значение на 2 в случае е и уменьшив его на 2 в случае ж. Особенно, е и ж находятся нильпотентные элементы алгебры Ли грамм.

И наоборот, Теорема Якобсона 窶 溺 орозова утверждает, что любой нильпотентный элемент е из полупростая алгебра Ли грамм может быть включен в сл₂-triple {е,час,ж}, и все такие тройки сопряжены под действием группы Z_грамм(е), централизатор из е в присоединенной группе Ли грамм соответствующей алгебре Ли грамм.

Полупростой элемент час любой сл₂-тройка, содержащая данный нильпотентный элемент е из грамм называется характеристика из е.

An сл₂-triple определяет оценку на грамм согласно собственным значениям час:

${displaystyle g = igoplus _ {jin mathbb {Z}} g_ {j}, quad [h, a] = ja {} {extrm {for}} {} ain g_ {j}.}$

В сл₂-тройка называется четное если бы даже j входят в это разложение, и странный иначе.

Если грамм является полупростой алгеброй Ли, то грамм₀ это редуктивный Подалгебра Ли в грамм (в целом не полупростой). Более того, прямая сумма собственных подпространств час с неотрицательными собственными значениями является параболическая подалгебра из грамм с компонентом Леви грамм₀.

Если элементы сл₂-тройные обычный, то их промежуток называется главная подалгебра.

Смотрите также

• Аффинная группа Вейля
• Конечная группа Кокстера
• Диаграмма Хассе
• Линейная алгебраическая группа
• Нильпотентная орбита
• Корневая система
• Специальная линейная алгебра Ли
• Группа Вейля

Рекомендации

• Онищик А.Л., Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли. Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv + 248 pp. (Перевод «Актуальные проблемы математики. Фундаментальные направления». Том 41, АН СССР, Всесоюз. Институт Науч. И Техн. Информ., Москва, 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Э. Б. Винберга. ISBN 3-540-54683-9
• В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, Теория инвариантов. Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 с. (Перевод алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Институт Науч. И Техн. Информ., М., 1989. Перев. под редакцией А. Н. Паршина и И. Р. Шафаревича) ISBN 3-540-54682-0