WikiDer > Космическая форма
В математика, а космическая форма это полный Риманово многообразие M из постоянный секционная кривизна K. Три очевидных примера: Евклидово п-Космос, то п-мерная сфера, и гиперболическое пространство, хотя космическую форму не обязательно односвязный.
Сведение к обобщенной кристаллографии
В Теорема Киллинга – Хопфа римановой геометрии утверждает, что универсальный чехол из п-мерная пространственная форма с кривизной изометрично , гиперболическое пространство, с кривизной изометрично , Евклидово п-Космос, а с кривизной изометрично , то n-мерная сфера точек на расстоянии 1 от начала координат в .
Изменив масштаб Риманова метрика на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Аналогично, изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Таким образом универсальный чехол космической формы с постоянной кривизной изометрично .
Это сводит проблему изучения космических форм к изучению дискретный группы из изометрии из которые действуют правильно прерывисто. Обратите внимание, что фундаментальная группа из , , будет изоморфен . Группы, действующие таким образом на называются кристаллографические группы. Группы, действующие таким образом на и называются Фуксовы группы и Клейнианские группы, соответственно.
Проблема космической формы
В проблема космической формы гипотеза о том, что любые два компактный асферический Римановы многообразия с изоморфный фундаментальные группы находятся гомеоморфный.
Возможные расширения ограничены. Можно было бы предположить, что многообразия изометрический, но изменение масштаба Риманова метрика на компактном асферическом римановом многообразии сохраняет фундаментальную группу и показывает, что это неверно. Можно также предположить, что многообразия диффеоморфный, но Джон Милнорс экзотические сферы все гомеоморфны и, следовательно, имеют изоморфную фундаментальную группу, что показывает, что это неверно.
Смотрите также
Рекомендации
- Гольдберг, Сэмюэл И. (1998), Кривизна и гомологии, Dover Publications, ISBN 978-0-486-40207-9
- Ли, Джон М. (1997), Римановы многообразия: введение в кривизну, Springer