WikiDer > Специальная унитарная группа

Special unitary group

В математике особая унитарная группа степени п, обозначенный SU (п), это Группа Ли из п × п унитарный матрицы с детерминант 1.

Более общий унитарные матрицы могут иметь комплексные детерминанты с абсолютным значением 1, а не действительным 1 в частном случае.

Групповая операция матричное умножение. Специальная унитарная группа - это подгруппа из унитарная группа U (п), состоящий из всех п×п унитарные матрицы. Как компактная классическая группа, U (п) группа, сохраняющая стандартный внутренний продукт на .[а] Сама это подгруппа общая линейная группа, .

В SU (п) группы находят широкое применение в Стандартная модель из физика элементарных частиц, особенно SU (2) в электрослабое взаимодействие и SU (3) в квантовая хромодинамика.[1]

Самый простой случай, SU (1), это тривиальная группа, имея только один элемент. Группа SU (2) является изоморфный к группе кватернионы из норма 1, и поэтому диффеоморфный к 3-сфера. поскольку кватернионы единиц может использоваться для представления поворотов в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU (2) к группа ротации ТАК (3) чья ядро является {+я, −я}.[b] SU (2) также совпадает с одной из групп симметрии спиноры, Вращение(3), что позволяет спинорное представление вращений.

Характеристики

Особая унитарная группа SU (п) настоящий Группа Ли (хотя и не комплексная группа Ли). Его размер как реальный коллектор является п2 − 1. Топологически это компактный и односвязный.[2] Алгебраически это простая группа Ли (имеется в виду его Алгебра Ли это просто; см. ниже).[3]

В центр из SU (п) изоморфен циклическая группа , и состоит из диагональных матриц ζ I за ζ ан пth корень единства и я то п×п единичная матрица.

это группа внешних автоморфизмов, за п ≥ 3, является , а группа внешних автоморфизмов SU (2) это тривиальная группа.

Максимальный тор ранга п − 1, задается набором диагональных матриц с определителем 1. Группа Вейля это симметричная группа Sп, который представлен матрицы перестановок со знаком (знаки необходимы, чтобы убедиться, что определитель равен 1).

В Алгебра Ли из SU (п), обозначаемый , можно отождествить с набором бесследный антиэрмитский п×п комплексные матрицы, с регулярными коммутатор как скобку Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое эквивалентное представление: набор бесследных Эрмитский п×п комплексные матрицы со скобкой Ли, заданные формулой я раз коммутатор.

Алгебра Ли

Алгебра Ли из состоит из косоэрмитский матрицы с нулевым следом.[4] Эта (действительная) алгебра Ли имеет размерность . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в разделе «Структура алгебры Ли».

Фундаментальное представление

В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством нулевого следа. Эрмитский (а не косоэрмитовы) матрицы. Иными словами, алгебра Ли физиков отличается в несколько раз. от математиков ». Используя это соглашение, можно выбрать генераторы Та которые бесследный Эрмитский сложный п×п матрицы, где:

где ж являются структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а d-коэффициенты симметричны по всем индексам.

Как следствие, антикоммутатор и коммутатор:

Фактор в коммутационных соотношениях возникает из соглашения физики и не присутствует при использовании соглашения математиков.

Мы также можем взять

как соглашение о нормализации.

Присоединенное представительство

в (п2 − 1)-размерный присоединенное представительство, генераторы представлены (п2 − 1)× (п2 − 1) матрицы, элементы которых определяются самими структурными константами:

Группа SU (2)

SU (2) следующая группа,[5]

где черта означает комплексное сопряжение.

Диффеоморфизм с S3

Если мы рассмотрим как пара в где и , то уравнение становится

Это уравнение 3-сфера S3. Это также можно увидеть с помощью вложения: карта

где обозначает набор 2 на 2 комплексных матриц, является инъективным вещественным линейным отображением (с учетом диффеоморфный к и диффеоморфен ). Следовательно ограничение из φ к 3-сфера (поскольку модуль равен 1), обозначенный S3, является вложением 3-сферы на компактное подмногообразие , а именно φ(S3) = SU (2).

Следовательно, как многообразие S3 диффеоморфен SU (2), что показывает, что SU (2) является односвязный и это S3 может быть наделен структурой компактного, связного Группа Ли.

Изоморфизм с кватернионы единиц

Комплексная матрица:

можно сопоставить с кватернион:

На самом деле это отображение является изоморфизмом. Кроме того, определитель матрицы - это квадратная норма соответствующего кватерниона. Ясно, что любая матрица в SU (2) имеет такую ​​форму и, поскольку определитель равен 1, соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU (2) изоморфен кватернионы единиц.[6]

Отношение к пространственным поворотам

Каждый единичный кватернион естественно связан с пространственным вращением в 3 измерениях, а произведение двух кватернионов связано с составом связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает таким образом ровно из двух единичных кватернионов. Вкратце: существует сюръективный гомоморфизм 2: 1 из SU (2) в ТАК (3); следовательно, SO (3) изоморфен факторгруппа SU (2) / {± I}, многообразие, лежащее в основе SO (3), получается отождествлением антиподальных точек 3-сферы S3 , а SU (2) - универсальный чехол СО (3).

Алгебра Ли

В Алгебра Ли из SU (2) состоит из косоэрмитский матрицы с нулевым следом.[7] В явном виде это означает

Алгебра Ли порождается следующими матрицами:

которые имеют форму указанного выше общего элемента.

Они удовлетворяют кватернион отношения и В кронштейн коммутатора поэтому определяется

Вышеупомянутые генераторы относятся к Матрицы Паули к и Это представление обычно используется в квантовая механика представлять вращение из элементарные частицы такие как электроны. Они также служат единичные векторы для описания наших 3 пространственных измерений в петля квантовой гравитации.

Алгебра Ли служит для определения представления SU (2).

Группа SU (3)

8-мерный простая группа Ли состоящий из всех 3 × 3 унитарный матрицы с детерминант 1.

Топология

Группа - односвязная компактная группа Ли.[8] Его топологическую структуру можно понять, заметив, что SU (3) действует переходно на единичной сфере в . В стабилизатор произвольной точки сферы изоморфна SU (2), которая топологически является 3-сферой. Отсюда следует, что SU (3) является пучок волокон над базой с волокном . Поскольку слои и база односвязны, тогда простая связность SU (3) следует с помощью стандартного топологического результата ( длинная точная последовательность гомотопических групп для пучков волокон).[9]

В -бутует классифицируются по так как любое такое расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полушариях и глядя на функцию перехода на их пересечении, которая гомотопически эквивалентна , так

Затем все такие переходные функции классифицируются по гомотопическим классам отображений

и, как скорее, чем , не может быть тривиальным пучком , а значит, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.

Теория представлений

Теория представлений хорошо понимается.[10] Описание этих представлений с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли , можно найти в статьях на Представления алгебры Ли или коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3).

Алгебра Ли

Генераторы, Т, алгебры Ли из в определяющем (физическом, эрмитовом) представлении являются

где λ, то Матрицы Гелл-Манна, являются SU (3) аналог Матрицы Паули за SU (2):

Эти λа охватить все бесследный Эрмитовы матрицы ЧАС из Алгебра Ли, как требуется. Обратите внимание, что λ2, λ5, λ7 антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

или, что то же самое,

.

В ж являются структурные константы алгебры Ли, заданной

,
,
,

в то время как все остальные жabc не связанные с ними перестановкой, равны нулю. Обычно они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7}.[c]

Симметричные коэффициенты d принять значения

Они обращаются в нуль, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетное.

Общий SU (3) групповой элемент, порожденный бесследной эрмитовой матрицей 3 × 3 ЧАС, нормализованная как tr (ЧАС2) = 2, можно выразить как второго порядка матричный полином от ЧАС:[11]

где

Структура алгебры Ли

Как отмечалось выше, алгебра Ли из состоит из косоэрмитский матрицы с нулевым следом.[12]

В комплексирование алгебры Ли является , пространство всех комплексные матрицы с нулевым следом.[13] Тогда подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом,[14] которые мы отождествляем с векторами в сумма записей равна нулю. В корни тогда состоят из всех п(п − 1) перестановки (1, −1, 0, ..., 0).

Выбор простые корни является

Так, SU (п) имеет классифицировать п − 1 и это Диаграмма Дынкина дан кем-то Ап−1, цепочка п − 1 узлы: Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.png.[15] это Матрица Картана является

это Группа Вейля или Группа Кокстера это симметричная группа Sп, то группа симметрии из (п − 1)-симплекс.

Обобщенная специальная унитарная группа

Для поле F, то обобщенная специальная унитарная группа над F, SU (п, q; F), это группа из всех линейные преобразования из детерминант 1 из векторное пространство ранга п = п + q над F которые оставляют инвариантным a невырожденный, Эрмитова форма из подпись (п, q). Эту группу часто называют особая унитарная группа подписи p q над F. Поле F можно заменить на коммутативное кольцо, и в этом случае векторное пространство заменяется на бесплатный модуль.

В частности, исправьте Эрмитова матрица А подписи p q в , то все

удовлетворить

Часто можно увидеть обозначение SU (п, q) без привязки к кольцу или полю; в этом случае речь идет о кольце или поле. и это дает один из классических Группы Ли. Стандартный выбор для А когда является

Однако могут быть лучшие варианты для А для определенных измерений, которые демонстрируют большее поведение при ограничении до подгрупп .

пример

Важным примером этого типа группы является Модульная группа Пикар который действует (проективно) на комплексном гиперболическом пространстве степени два так же, как действует (проективно) на реальных гиперболическое пространство измерения два. В 2005 году Gábor Francsics и Питер Лакс вычислил явную фундаментальную область действия этой группы на HC2.[16]

Еще один пример: , который изоморфен .

Важные подгруппы

В физике специальная унитарная группа используется для обозначения бозонный симметрии. В теориях нарушение симметрии важно уметь найти подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU (п) что важно в GUT физика для п > 1, пп > 1,

где × обозначает прямой продукт и U (1), известный как круговая группа, - мультипликативная группа всех сложные числа с абсолютная величина 1.

Для полноты картины также есть ортогональный и симплектический подгруппы,

Поскольку классифицировать из Солнце) является п − 1 и из U (1) равно 1, полезной проверкой является то, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU (п) является подгруппой различных других групп Ли,

Увидеть вращательная группа, и простые группы Ли для E6, E7, а G2.

Есть также случайные изоморфизмы: SU (4) = Отжим (6), SU (2) = Spin (3) = Sp (1),[d] и U (1) = Spin (2) = SO (2).

Наконец, можно упомянуть, что SU (2) это группа двойного покрытия из ТАК (3), соотношение, которое играет важную роль в теории вращений 2-спиноры в нерелятивистском квантовая механика.

Группа SU (1,1)

где обозначает комплексно сопряженный комплексного числа ты.

Эта группа локально изоморфна ТАК (2,1) и SL (2, ℝ)[17] где числа, разделенные запятой, относятся к подпись из квадратичная форма сохранены группой. Выражение в определении СУ (1,1) является Эрмитова форма который становится изотропная квадратичная форма когда ты и v расширяются своими реальными компонентами. Раннее появление этой группы было как «единичная сфера» кокватернионы, представлен Джеймс Кокл в 1852 г. Пусть

потом единичная матрица 2 × 2, и и элементы я, j, и k все антикоммутация, как и обычные кватернионы. Также по-прежнему является квадратным корнем из я2 (отрицательное значение единичной матрицы), тогда как нет, в отличие от кватернионы. Для обоих кватернионы и кокватернионы, все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные я2 , называется единица (со) кватернион, и иногда явно обозначается как 1 .

Кокватернион со скаляром ш, имеет сопряженный аналогично кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма

Обратите внимание, что 2-лист гиперболоид соответствует мнимые единицы в алгебре так, чтобы любая точка п на этом гиперболоиде можно использовать как столб синусоидальной волны по Формула Эйлера.

Гиперболоид устойчив при СУ (1,1), иллюстрирующий изоморфизм с ТАК (2,1). Изменчивость полюса волны, как отмечается в исследованиях поляризация, может просмотреть эллиптическая поляризация как экспонат эллиптической формы волны с столб . В Сфера Пуанкаре Модель, используемую с 1892 года, сравнивают с моделью гиперболоида из двух листов.[18]

Когда элемент СУ (1,1) интерпретируется как Преобразование Мёбиуса, он оставляет единичный диск стабильный, поэтому эта группа представляет движения из Модель диска Пуанкаре геометрии гиперболической плоскости. Действительно, для точки [ z, 1 ] в сложная проективная линия, действие СУ (1,1) дан кем-то

поскольку в проективные координаты

Письмо арифметика комплексных чисел показывает

где Следовательно, так что их соотношение лежит в открытом диске.[19]

Смотрите также

Сноски

  1. ^ Для характеристики U (п) и, следовательно SU (п) с точки зрения сохранения стандартного внутреннего продукта на , увидеть Классическая группа.
  2. ^ Для явного описания гомоморфизма СУ (2) → СО (3), увидеть Связь между SO (3) и SU (2).
  3. ^ Так меньше чем16 из всех жabcs не равны нулю.
  4. ^ Sp (п) это компактная реальная форма из . Иногда обозначается USp (2n). Размер Sp (п)-матрицы 2п × 2п.

Цитаты

  1. ^ Хальзен, Фрэнсис; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.
  2. ^ Зал 2015 Предложение 13.11.
  3. ^ Уибурн, Б. Дж. (1974). Классические группы для физиков, Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 .
  4. ^ Зал 2015 Предложение 3.24.
  5. ^ Зал 2015 Упражнение 1.5.
  6. ^ Дикарь, Алистер. "ЛиеГрупп" (PDF). MATH 4144 примечания.
  7. ^ Зал 2015 Предложение 3.24.
  8. ^ Зал 2015 Предложение 13.11.
  9. ^ Зал 2015 Раздел 13.2
  10. ^ Зал 2015 Глава 6
  11. ^ Розен, С. П. (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU (3)». Журнал математической физики. 12 (4): 673–681. Bibcode:1971JMP .... 12..673R. Дои:10.1063/1.1665634.; Кертрайт, Т. Л.; Захос, К. К. (2015). «Элементарные результаты для фундаментального представления SU (3)». Доклады по математической физике. 76 (3): 401–404. arXiv:1508.00868. Bibcode:2015RpMP ... 76..401C. Дои:10.1016 / S0034-4877 (15) 30040-9.
  12. ^ Зал 2015 Предложение 3.24.
  13. ^ Зал 2015 Раздел 3.6.
  14. ^ Зал 2015 Раздел 7.7.1
  15. ^ Зал 2015 Раздел 8.10.1
  16. ^ Francsics, Габор; Лакс, Питер Д. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область для модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv:математика / 0509708.
  17. ^ Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения. Джон Уайли и сыновья. С. 52, 201−205. Г-Н 1275599.
  18. ^ Mota, R.D .; Ojeda-Guillén, D .; Salazar-Ramírez, M .; Гранадос, В. (2016). «SU (1,1) подход к параметрам Стокса и теория поляризации света». Журнал Оптического общества Америки B. 33 (8): 1696–1701. arXiv:1602.03223. Дои:10.1364 / JOSAB.33.001696.
  19. ^ Сигель, К. (1971). Темы теории сложных функций. 2. Перевод Шеницера, А .; Третьков, М. Wiley-Interscience. С. 13–15. ISBN 0-471-79080 Х.

использованная литература

  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
  • Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и приложения, Конспект лекций по физике, 708, Спрингер, ISBN 3540362363