WikiDer > Сплайн вейвлет

Анимация, показывающая компактно поддерживаемые кардинальные вейвлеты B-сплайнов порядков 1, 2, 3, 4 и 5.

в математическая теория из вейвлеты, а сплайн вейвлет - вейвлет, построенный с использованием функция сплайна.^[1] Есть разные типы сплайн-вейвлетов. Интерполяционные сплайн-вейвлеты, введенные К.К. Чуй и Ж. Ванга основаны на определенном сплайн интерполяция формула.^[2] Хотя эти вейвлеты ортогональный, У них нет компактный поддерживает. Существует определенный класс вейвлетов, в некотором смысле уникальный, построенный с использованием B-шлицы и имеющий компактные опоры. Несмотря на то, что эти вейвлеты не ортогональны, они обладают некоторыми особыми свойствами, которые сделали их довольно популярными.^[3] Терминология сплайн вейвлет иногда используется для обозначения вейвлетов в этом классе сплайн-вейвлетов. Эти специальные вейвлеты также называют B-сплайн вейвлеты и кардинальные вейвлеты B-сплайна.^[4] Вейвлеты Батл-Лемари также являются вейвлетами, построенными с использованием сплайн-функций.^[5]

Кардинальные B-шлицы

Позволять п быть фиксированным неотрицательным целое число. Позволять C^п обозначим множество всех действительные функции определяется на множестве действительные числа так что каждая функция в наборе, а также ее первая п производные находятся непрерывный повсюду. А би-бесконечная последовательность . . . Икс₋₂, Икс₋₁, Икс₀, Икс₁, Икс₂,. . . такой, что Икс_р < Икс_р+1 для всех р и такой, что Икс_р приближается к ± ∞ при приближении r к ± ∞, как говорят, задает набор узлов. А сплайн порядка п с набором узлов {Икс_р} - это функция S(Икс) в C^п так что для каждого р, ограничение S(Икс) к интервалу [Икс_р, Икс_р+1) совпадает с многочлен с действительными коэффициентами степени не выше п в Икс.

Если разлука Икс_р+1 - Икс_р, куда р - любое целое число, между последовательными узлами в множестве узлов является константой, сплайн называется кардинальный сплайн. Набор целых чисел Z знак равно . ., -2, -1, 0, 1, 2,. . .} - стандартный выбор для набора узлов кардинального сплайна. Если не указано иное, обычно предполагается, что набор узлов - это набор целых чисел.

Кардинальный B-сплайн - это особый тип кардинального сплайна. Для любого положительного целого числа м кардинальный B-сплайн порядка м, обозначаемый N_м(Икс), определяется рекурсивно следующим образом.

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {cases} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {else}} end {cases}}}$

${ Displaystyle N_ {m} (x) = int _ {0} ^ {1} N_ {m-1} (x-t) dt}$, за ${ displaystyle m> 1}$.

Конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 5 и их графики приведены ниже в этой статье.

Свойства кардинальных B-сплайнов

Элементарные свойства

1. В поддерживать из ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ это закрытый интервал ${ displaystyle [0, м]}$.
2. Функция ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ неотрицательно, то есть ${ displaystyle N_ {m} (x)> 0}$ за ${ Displaystyle 0 <х <м}$.
3. ${ Displaystyle сумма _ {к = - infty} ^ { infty} N_ {м} (х-к) = 1}$ для всех ${ displaystyle x}$.
4. Кардинальные B-шлицы порядков м и м-1 связаны идентичностью: ${ displaystyle N_ {m} (x) = { frac {x} {m-1}} N_ {m-1} (x) + { frac {mx} {m-1}} N_ {m-1 } (х-1)}$.
5. Функция ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ симметрично относительно ${ displaystyle x = { frac {m} {2}}}$, то есть, ${ displaystyle N_ {m} left ({ frac {m} {2}} - x right) = N_ {m} left ({ frac {m} {2}} + x right)}$.
6. Производная от ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ дан кем-то ${ Displaystyle N_ {m} ^ { prime} (x) = N_ {m-1} (x) -N_ {m-1} (x-1)}$.
7. ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} N_ {m} (x) , dx = 1}$

Двухмасштабное отношение

Кардинальный B-сплайн порядка м удовлетворяет следующему двухмасштабному соотношению:

${ displaystyle N_ {m} (x) = sum _ {k = 0} ^ {m} 2 ^ {- m + 1} {m choose k} N_ {m} (2x-k)}$.

Рисс собственность

Кардинальный B-сплайн порядка м удовлетворяет следующему свойству, известному как свойство Рисса: существует два положительных действительных числа ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ такая, что для любой суммируемой с квадратом двусторонней последовательности ${ displaystyle {c_ {k} } _ {k = - infty} ^ { infty}}$ и для любого Икс,

${ Displaystyle A left Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2} leq left Vert sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} N_ {m} (xk) right Vert ^ {2} leq B left Vert {c_ {k} } right Vert ^ {2}}$

куда ${ Displaystyle Vert cdot Vert}$ - норма в ℓ²-Космос.

Кардинальные B-шлицы малых заказов

Кардинальные B-сплайны определяются рекурсивно, начиная с B-сплайна порядка 1, а именно ${ Displaystyle N_ {1} (х)}$, который принимает значение 1 в интервале [0, 1) и 0 в другом месте. Для получения конкретных выражений для кардинальных B-сплайнов более высокого порядка, возможно, придется использовать системы компьютерной алгебры. Ниже приведены конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 6. Также представлены графики кардинальных B-сплайнов порядков до 4. На изображениях также показаны графики членов, участвующих в соответствующих двухмасштабных отношениях. Две точки на каждом изображении обозначают границы интервала, поддерживающего B-сплайн.

Постоянный B-сплайн

B-сплайн порядка 1, а именно ${ Displaystyle N_ {1} (х)}$, - постоянный B-сплайн. Это определяется

${ displaystyle N_ {1} (x) = { begin {cases} 1 & 0 leq x <1 0 & { text {else}} end {cases}}}$

Двухмасштабное соотношение для этого B-сплайна имеет вид

${ Displaystyle N_ {1} (х) = N_ {1} (2x) + N_ {1} (2x-1)}$

Постоянный B-сплайн ${ Displaystyle N_ {1} (х)}$

Линейный B-шлиц

B-сплайн порядка 2, а именно ${ Displaystyle N_ {2} (х)}$, - линейный B-сплайн. Это дается

${ displaystyle N_ {2} (x) = { begin {cases} x & 0 leq x <1 - x + 2 & 1 leq x <2 0 & { text {else}} end {cases}} }$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

${ displaystyle N_ {2} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (2x) + N_ {2} (2x-1) + { frac {1} {2}} N_ {2} (2х-2)}$

Линейный B-шлиц ${ Displaystyle N_ {2} (х)}$

Квадратичный B-сплайн

B-сплайн третьего порядка, а именно ${ Displaystyle N_ {3} (х)}$, - квадратичный B-сплайн. Это дается

${ displaystyle N_ {3} (x) = { begin {cases} { frac {1} {2}} x ^ {2} & 0 leq x <1 - x ^ {2} + 3x- { frac {3} {2}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {2} -3x + { frac {9} {2}} & 2 leq x <3 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

${ displaystyle N_ {3} (x) = { frac {1} {4}} N_ {3} (2x) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {3} (2x-2) + { frac {1} {4}} N_ {3} (2x-3)}$

Квадратичный B-сплайн ${ Displaystyle N_ {3} (х)}$

Кубический B-сплайн

Кубический B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 4, обозначаемый ${ Displaystyle N_ {4} (х)}$. Он выражается следующими выражениями:

${ displaystyle N_ {4} (x) = { begin {cases} { frac {1} {6}} x ^ {3} & 0 leq x <1 - { frac {1} {2} } x ^ {3} + 2x ^ {2} -2x + { frac {2} {3}} & 1 leq x <2 { frac {1} {2}} x ^ {3} -4x ^ {2} + 10x - { frac {22} {3}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {3} + 2x ^ {2} -8x + { frac {32} {3}} & 3 leq x <4 0 & { text {иначе}} end {cases}}}$

Двухмасштабное соотношение для кубического B-сплайна имеет вид

${ displaystyle N_ {4} (x) = { frac {1} {8}} N_ {4} (2x) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-1) + { frac {3} {4}} N_ {4} (2x-2) + { frac {1} {2}} N_ {4} (2x-3) + { frac {1} {8}} N_ {4} (2х-4)}$

Кубический B-сплайн ${ Displaystyle N_ {4} (х)}$

Замечание: Легенда для желтый график должно быть ${ displaystyle { frac {1} {4}} N_ {4} (2x-4)}$

Биквадратичный B-сплайн

Биквадратичный B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 5, обозначаемый ${ Displaystyle N_ {5} (х)}$. Это дается

${ displaystyle N_ {5} (x) = { begin {cases} { frac {1} {24}} x ^ {4} & 0 leq x <1 - { frac {1} {6} } x ^ {4} + { frac {5} {6}} x ^ {3} - { frac {5} {4}} x ^ {2} + { frac {5} {6}} x - { frac {5} {24}} & 1 leq x <2 { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {5} {2}} x ^ {3} + { frac {35} {4}} x ^ {2} - { frac {25} {2}} x + { frac {155} {24}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {6}} x ^ {4} + { frac {5} {2}} x ^ {3} - { frac {55} {4}} x ^ {2} + { frac {65 } {2}} x - { frac {655} {24}} & 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {5} {6} } x ^ {3} + { frac {25} {4}} x ^ {2} - { frac {125} {6}} x + { frac {625} {24}} & 4 leq x <5 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

Двухмасштабное соотношение:

${ displaystyle N_ {5} (x) = { frac {1} {16}} N_ {5} (2x) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-1) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-2) + { frac {10} {16}} N_ {5} (2x-3) + { frac {5} {16}} N_ {5} (2x-4) + { frac {1} {16}} N_ {5} (2x-5)}$

Пятый B-сплайн

Пятый B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 6, обозначаемый ${ Displaystyle N_ {6} (х)}$. Это дается

${ displaystyle N_ {6} (x) = { begin {cases} { frac {1} {120}} x ^ {5} & 0 leq x <1 - { frac {1} {24} } x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} - { frac {1} {2}} x ^ {3} + { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {4}} x + { frac {1} {20}} & 1 leq x <2 { frac {1} {12}} x ^ {5} - x ^ {4} + { frac {9} {2}} x ^ {3} - { frac {19} {2}} x ^ {2} + { frac {39} {4}} x- { frac {79} {20}} & 2 leq x <3 - { frac {1} {12}} x ^ {5} + { frac {3} {2}} x ^ {4} - { frac {21} {2}} x ^ {3} + { frac {71} {2}} x ^ {2} - { frac {231} {4}} x + { frac {731} {20}} & 3 leq x <4 { frac {1} {24}} x ^ {5} -x ^ {4} + { frac {19} {2}} x ^ {3} - { frac {89} {2}} x ^ {2} + { frac {409} {4}} x - { frac {1829} {20}} & 4 leq x <5 - { frac {1} {120}} x ^ {5} + { frac {1} {4}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 18x ^ {2} -54x + { frac {324} {5 }} & 5 leq x <6 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

Анализ с несколькими разрешениями, генерируемый кардинальными B-сплайнами

Кардинальный B-сплайн ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ порядка м генерирует анализ с несколькими разрешениями. Фактически, из изложенных выше элементарных свойств этих функций следует, что функция ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ является квадратично интегрируемый и является элементом пространства ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ квадратично интегрируемых функций. Для настройки анализа с несколькими разрешениями используются следующие обозначения.

• Для любых целых чисел ${ displaystyle k, j}$, определим функцию ${ Displaystyle N_ {m, kj} (x) = N_ {m} (2 ^ {k} x-j)}$.
• Для каждого целого числа ${ displaystyle k}$, определим подпространство ${ displaystyle V_ {k}}$ из ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ как закрытие из линейный пролет из набора ${ Displaystyle {N_ {м, kj} (х): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$.

То, что они определяют анализ с несколькими разрешениями, следует из следующего:

1. Пространства ${ displaystyle V_ {k}}$ удовлетворяют собственности: ${ displaystyle cdots subset V _ {- 2} subset V _ {- 1} subset V_ {0} subset V_ {1} subset V_ {2} subset cdots}$.
2. Закрытие в ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ объединения всех подпространств ${ displaystyle V_ {k}}$ это все пространство ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$.
3. Пересечение всех подпространств ${ displaystyle V_ {k}}$ - одноэлементный набор, содержащий только нулевую функцию.
4. Для каждого целого числа ${ displaystyle k}$ набор ${ Displaystyle {N_ {м, kj} (х): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ является безусловным основанием для ${ displaystyle V_ {k}}$. (Последовательность {Икс_п} в банаховом пространстве Икс является безусловным основанием пространства Икс если каждая перестановка последовательности {Икс_п} также является основой того же пространства Икс.^[6])

Вейвлеты из кардинальных B-сплайнов

Позволять м фиксированное положительное целое число и ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ - кардинальный B-сплайн порядка м. Функция ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ в ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ является базовым вейвлетом относительно кардинальной B-сплайн-функции ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ если закрытие в ${ Displaystyle L ^ {2} (R)}$ линейной оболочки множества ${ displaystyle { psi _ {m} (x-j): j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ (это замыкание обозначается ${ displaystyle W_ {0}}$) это ортогональное дополнение из ${ displaystyle V_ {0}}$ в ${ displaystyle V_ {1}}$. Нижний индекс м в ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ используется, чтобы указать, что ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ - базовый вейвлет относительно кардинального B-сплайна порядка м. Нет уникального базового вейвлета ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ относительно кардинального B-сплайна ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$. Некоторые из них обсуждаются в следующих разделах.

Вейвлеты относительно основных B-сплайнов с использованием основных интерполяционных сплайнов

Фундаментальный интерполяционный сплайн

Определения

Позволять м - фиксированное натуральное число и пусть ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ - кардинальный B-сплайн порядка м. Учитывая последовательность ${ displaystyle {f_ {j}: j = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ действительных чисел, проблема нахождения последовательности ${ displaystyle {c_ {m, k}: k = cdots, -2, -1,0,1,2, cdots }}$ действительных чисел такие, что

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (j + { frac {m} {2}} - k right) = f_ { j}}$ для всех ${ displaystyle j}$,

известен как кардинальная задача интерполяции сплайном. Частный случай этой задачи, когда последовательность ${ displaystyle {f_ {j} }}$ это последовательность ${ displaystyle delta _ {0j}}$, куда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ - дельта-функция Кронекера ${ displaystyle delta _ {ij}}$ определяется

${ displaystyle delta _ {ij} = { begin {case} 1, & { text {if}} i = j 0, & { text {if}} i neq j end {cases} }}$,

это основная задача интерполяции кардинальных сплайнов. Решение задачи дает основной кардинальный интерполяционный сплайн порядка м. Этот сплайн обозначается ${ Displaystyle L_ {m} (х)}$ и дается

${ displaystyle L_ {m} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (x + { frac {m} {2}}) -k right)}$

где последовательность ${ displaystyle {c_ {m, k} }}$ теперь является решением следующей системы уравнений:

${ displaystyle sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} N_ {m} left (j + { frac {m} {2}} - k right) = delta _ {0j}}$

Процедура нахождения основного кардинального интерполяционного сплайна

Основной кардинальный интерполяционный сплайн ${ Displaystyle L_ {m} (х)}$ можно определить с помощью Z-преобразования. Используя следующие обозначения

${ Displaystyle A (z) = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} delta _ {k0} z ^ {k} = 1,}$

${ Displaystyle B_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {m} left (k + { frac {m} {2}} right) z ^ { k},}$

${ Displaystyle C_ {m} (z) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {m, k} z ^ {k},}$

это видно из уравнений, определяющих последовательность ${ displaystyle c_ {m, k}}$ который

${ Displaystyle B_ {m} (z) C_ {m} (z) = A (z)}$

откуда мы получаем

${ Displaystyle C_ {m} (z) = { frac {1} {B_ {m} (z)}}}$.

Это может быть использовано для получения конкретных выражений для ${ displaystyle c_ {m, k}}$.

Пример

В качестве конкретного примера рассмотрим случай ${ Displaystyle L_ {4} (х)}$ могут быть исследованы. Определение ${ displaystyle B_ {m} (z)}$ подразумевает, что

${ displaystyle B_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} N_ {4} (2 + k) z ^ {k}}$

Единственные ненулевые значения ${ Displaystyle N_ {4} (к + 2)}$ даны ${ displaystyle k = -1,0,1}$ и соответствующие значения

${ displaystyle N_ {4} (1) = { frac {1} {6}}, N_ {4} (2) = { frac {4} {6}}, N_ {4} (3) = { frac {1} {6}}.}$

Таким образом ${ Displaystyle B_ {4} (г)}$ сводится к

${ displaystyle B_ {4} (z) = { frac {1} {6}} z ^ {- 1} + { frac {4} {6}} z ^ {0} + { frac {1} {6}} z ^ {1} = { frac {1 + 4z + z ^ {2}} {6z}}}$

Это дает следующее выражение для ${ Displaystyle C_ {4} (г)}$.

${ displaystyle C_ {4} (z) = { frac {6z} {1 + 4z + z ^ {2}}}}$

Разделив это выражение на частичные дроби и раскрыв каждый член по степеням z в кольцевой области значения ${ displaystyle c_ {4, k}}$ можно вычислить. Затем эти значения подставляются в выражение для ${ Displaystyle L_ {4} (х)}$ уступить

${ displaystyle L_ {4} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3} }) ^ {| k |} N_ {4} (x + 2-k)}$

Вейвлет с использованием основного интерполяционного сплайна

Для положительного целого числа м, функция ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ определяется

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} L_ {2m} (2x-1)}$

является основным вейвлетом относительно кардинального B-сплайна порядка ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$. Нижний индекс я в ${ displaystyle psi _ {я, м}}$ используется для обозначения того, что он основан на формуле интерполяционного сплайна. Этот базовый вейвлет не поддерживается компактно.

Пример

Вейвлет порядка 2 с использованием интерполяционного сплайна имеет вид

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} L_ {4} (2x-1)}$

Выражение для ${ Displaystyle L_ {4} (х)}$ теперь дает следующую формулу:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { sqrt {3}} (2 - { sqrt {3}}) ^ {| k |} N_ {4} (2x + 1-k)}$

Теперь, используя выражение для производной от ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ с точки зрения ${ Displaystyle N_ {м-1} (х)}$ функция ${ Displaystyle psi _ {2} (х)}$ можно представить в следующем виде:

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {k} 4 { sqrt {3}} (2- { sqrt {3}}) ^ {| k |} { Big (} (N_ {2} (2x + k-1) -2N_ {2} (2x + k-2) + N_ {2} (2x + k-3) { Big)}}$

Следующая кусочно-линейная функция является приближением к ${ Displaystyle psi _ {2} (х)}$ полученный суммированием слагаемых, соответствующих ${ Displaystyle к = -3, ldots, 3}$ в выражении бесконечного ряда для ${ Displaystyle psi _ {2} (х)}$.

${ displaystyle psi _ {I, 2} (x) приблизительно { begin {cases} 0,07142668x + 0,17856670 & -2,5$

Двухмасштабное отношение

Двухмасштабное соотношение для вейвлет-функции ${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ дан кем-то

${ displaystyle psi _ {I, m} (x) = sum _ {- infty} ^ { infty} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ куда ${ displaystyle q_ {n} = sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} {m choose j} c_ {m + n-j-1}.}$

B-сплайн вейвлеты с компактной опорой

Сплайн-вейвлеты, сгенерированные с помощью интерполяционных вейвлетов, не поддерживаются компактно. Вейвлеты B-сплайна с компактными опорами были открыты Чарльзом К. Чуи и Цзянь-чжун Ван и опубликованы в 1991 году.^[3][7] Вейвлет B-сплайна с компактной опорой относительно кардинального B-сплайна ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ порядка м открыт Чуи и Вонг и обозначен ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$, имеет в качестве опоры интервал ${ displaystyle [0,2m-1]}$. Эти вейвлеты по существу уникальны в определенном смысле, который будет объяснен ниже.

Определение

B-сплайн-вейвлет с компактным носителем порядка м дан кем-то

${ displaystyle psi _ {C, m} (x) = { frac {1} {2 ^ {2m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {2m-2} (- 1) ^ {j} N_ {2m} (j + 1) { frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} N_ {2m} (2x-j)}$

Это мСплайн -го порядка. Как частный случай, B-сплайн-вейвлет порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { frac {1} {2}} N_ {2} (1) { frac {d} {dx}} N_ {2} (2x) = { begin {case} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

что является известным Вейвлет Хаара.

Характеристики

1. Поддержка ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ это закрытый интервал ${ displaystyle [0,2m-1]}$.
2. Вейвлет ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ уникальный вейвлет с минимальной поддержкой в ​​следующем смысле: Если ${ displaystyle eta (x) in W_ {0}}$ генерирует ${ displaystyle W_ {0}}$ и имеет поддержку, не превышающую ${ displaystyle 2m-1}$ в длину тогда ${ displaystyle eta (x) = c_ {0} psi _ {C, m} (x-n_ {0})}$ для некоторой ненулевой постоянной ${ displaystyle c_ {0}}$ и для некоторого целого числа ${ displaystyle n_ {0}}$.^[8]
3. ${ displaystyle psi _ {C, m} (x)}$ симметричен для четных м и антисимметричный для нечетных м.

Двухмасштабное отношение

${ Displaystyle psi _ {м} (х)}$ удовлетворяет двухмасштабному соотношению:

${ Displaystyle psi _ {C, m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {3m-2} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ куда ${ displaystyle q_ {n} = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {m-1}}} sum _ {j = 0} ^ {m} {m choose j} N_ {2m} (n-j + 1)}$.

Отношение разложения

Соотношение разложения для B-сплайн-вейвлета с компактным носителем имеет следующий вид:

${ Displaystyle N_ {m} (2x-l) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [a_ {m, l-2k} N_ {m} (xk) + b_ {m , l-2k} psi _ {C, m} (xk) right]}$

где коэффициенты ${ displaystyle a_ {m, j}}$ и ${ displaystyle b_ {m, j}}$ даны

${ displaystyle a_ {m, j} = - { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} q _ {- j + 2m- 2l + 1} c_ {2m, l},}$

${ displaystyle b_ {m, j} = { frac {(-1) ^ {j}} {2}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} p _ {- j + 2m-2l +1} c_ {2m, l}.}$

Здесь последовательность ${ displaystyle c_ {2m, l}}$ - последовательность коэффициентов в фундаментальном кардинальном сплайн-вейвлете интерполяции порядка м.

B-сплайновые вейвлеты малых порядков с компактной опорой

B-сплайн-вейвлет порядка 1 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-всплеска порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${ Displaystyle psi _ {C, 1} (х) = N_ {1} (2x) -N_ {1} (2x-1)}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 1} (x) = { begin {cases} 1 & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - 1 & { frac {1} {2}} leq x <1 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 2 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-всплеска порядка 2 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { frac {1} {12}} left (N_ {2} (2x) -6N_ {2} (2x-1) + 10N_ {2} (2x-2) -6N_ {2} (2x-3) + N_ {2} (2x-4) right)}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 2 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 2} (x) = { begin {cases} { frac {1} {6}} x & 0 leq x <{ frac {1} {2}} - { frac {7} {6}} x + { frac {2} {3}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {8} {3}} x- { frac {19} {6}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {8} {3}} x + { frac {29} {6}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {7} {6}} x - { frac {17} {6}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {1} {6}} x + { frac {1} {2}} & { frac {5} {2}} leq x <3 0 & { text {в противном случае}} end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 3 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 3 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { frac {1} {480}} { Big [} (N_ {3} (2x) -29N_ {3} (2x-1) + 147N_ {3} (2x-2) -303N_ {3} (2x-3) +}$

${ displaystyle 303N_ {3} (2x-4) -147N_ {3} (2x-5) + 29N_ {3} (2x-6) -N_ {3} (2x-7) { Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 3 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 3} (x) = { begin {cases} { frac {1} {240}} x ^ {2} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {31} {240}} x ^ {2} + { frac {2} {15}} x - { frac {1} {30}} & { frac {1} { 2}} leq x <1 { frac {103} {120}} x ^ {2} - { frac {221} {120}} x + { frac {229} {240}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {313} {120}} x ^ {2} + { frac {1027} {120}} x - { frac {1643} { 240}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {22} {5}} x ^ {2} - { frac {779} {40}} x + { frac {339} {16}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {22} {5}} x ^ {2} + { frac {981} {40 }} x - { frac {541} {16}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {313} {120}} x ^ {2} - { frac {701} {40}} x + { frac {2341} {80}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {103} {120}} x ^ { 2} + { frac {809} {120}} x - { frac {3169} {240}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {31} { 240}} x ^ {2} - { frac {139} {120}} x + { frac {623} {240}} & 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {1} {240}} x ^ {2} + { frac {1} {24}} x - { frac {5} {48}} & { frac {9} {2}} leq x <5 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 4 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 4 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { frac {1} {40320}} { Big [} N_ {4} (2x) -124N_ {4} (2x-1) + 1677N_ { 4} (2x-2) -7904N_ {4} (2x-3) + 18482N_ {4} (2x-4) -}$

${ displaystyle 24264N_ {4} (2x-5) + 18482N_ {4} (2x-6) -7904N_ {4} (2x-7) + 1677N_ {4} (2x-8) -124N_ {4} (2x- 9) + N_ {4} (2x-10) { Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета с компактным носителем порядка 4 имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 4} (x) = { begin {cases} { frac {1} {30240}} x ^ {3} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {127} {30240}} x ^ {3} + { frac {2} {315}} x ^ {2} - { frac {1} {315}} x + { frac {1} {1890}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {19} {280}} x ^ {3} - { frac {47} {224} } x ^ {2} + { frac {2147} {10080}} x - { frac {103} {1440}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {1109} {2520}} x ^ {3} + { frac {465} {224}} x ^ {2} - { frac {32413} {10080}} x + { frac {16559} {10080}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {5261} {3360}} x ^ {3} - { frac {33463} {3360}} x ^ {2} + { frac {42043} {2016}} x - { frac {145193} {10080}} & 2 leq x <{ frac {5} {2}} - { frac {35033} {10080}} x ^ {3} + { frac {93577} {3360}} x ^ {2} - { frac {148517} {2016}} x + { frac {216269} {3360}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {4832} {945}} x ^ {3} - { frac {27691} {560}} x ^ {2} + { frac {113923} { 720}} x - { frac {28145} {168}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {4832} {945}} x ^ {3} + { frac {58393} {1008}} x ^ {2} - { frac {52223} {240}} x + { frac {2048227} {7560}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {35033} {10080}} x ^ {3} - { frac {75827} {1680}} x ^ {2} + { frac {981101} { 5040}} x - { frac {234149} {840}} & 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {5261} {3360}} x ^ {3} + { frac {38509} {1680}} x ^ {2} - { frac {112487} {1008}} x + { frac {30347} {168}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {1109} {2520}} x ^ {3} - { frac {24077} {3360}} x ^ {2} + { frac {78311} {2016}} x - { frac {141311} {2016}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {19} {280}} x ^ {3} + { frac {1361} {1120 }} x ^ {2} - { frac {14617} {2016}} x + { frac {4151} {288}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {127} {30240}} x ^ {3} - { frac {55} {672}} x ^ {2} + { frac {5359} {10080}} x - { frac {11603} {10080} } & 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {1} {30240}} x ^ {3} + { frac {1} {1440}} x ^ {2} - { frac {7} {1440}} x + { frac {49} {4320}} & { frac {13} {2}} leq x <7 0 & { text {else}} end {случаи}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 5 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайнового вейвлета порядка 5 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { frac {1} {5806080}} { Big [} N_ {5} (2x) -507N_ {5} (2x-1) + 17128N_ { 5} (2x-2) -166304N_ {5} (2x-3) + 748465N_ {5} (2x-4)}$

${ displaystyle -1900115N_ {5} (2x-5) + 2973560N_ {5} (2x-6) -2973560N_ {5} (2x-7) + 1900115N_ {5} (2x-8)}$

${ displaystyle -748465N_ {5} (2x-9) + 166304N_ {5} (2x-10) -17128N_ {5} (2x-11) + 507N_ {5} (2x-12) -N_ {5} (2x -13) { Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 5 с компактным носителем имеет вид

${ displaystyle psi _ {C, 5} (x) = { begin {cases} { frac {1} {8709120}} x ^ {4} & 0 leq x <{ frac {1} {2} } - { frac {73} {1244160}} x ^ {4} + { frac {1} {8505}} x ^ {3} - { frac {1} {11340}} x ^ {2 } + { frac {1} {34020}} x - { frac {1} {272160}} & { frac {1} {2}} leq x <1 { frac {9581} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {19417} {2177280}} x ^ {3} + { frac {1303} {96768}} x ^ {2} - { frac {19609} {2177280}} x + { frac {6547} {2903040}} & 1 leq x <{ frac {3} {2}} - { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} + { frac {366119 } {2177280}} x ^ {3} - { frac {186253} {483840}} x ^ {2} + { frac {121121} {311040}} x - { frac {427181} {2903040}} & { frac {3} {2}} leq x <2 { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} - { frac {3146561} {2177280}} x ^ {3} + { frac {6466601} {1451520}} x ^ {2} - { frac {13202873} {2177280}} x + { frac {26819897} {8709120}} & 2 leq x <{ frac {5} {2} } - { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} + { frac {5183893} {725760}} x ^ {3} - { frac {13426333} {483840}} x ^ {2 } + { frac {426589} {8960}} x - { frac {12635243} {414720}} & { frac {5} {2}} leq x <3 { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} - { frac {16524079} {725760}} x ^ {3} + { frac {7385369} {69120}} x ^ { 2} - { frac {17868671} {80640}} x + { frac {497668543} {290304}} & 3 leq x <{ frac {7} {2}} - { frac {14714327} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {108543091} {2177280}} x ^ {3} - { frac {56901557} {207360}} x ^ {2} + { frac {1454458651} {2177280}} x - { frac {5286189059} {8709120}} & { frac {7} {2}} leq x <4 { frac {15619} {3402}} x ^ {4} - { frac { 33822017} {435456}} x ^ {3} + { frac {15828929} {32256}} x ^ {2} - { frac {597598433} {435456}} x + { frac {277413649} {193536}} и 4 leq x <{ frac {9} {2}} - { frac {15619} {3402}} x ^ {4} + { frac {38150335} {435456}} x ^ {3} - { frac {20157247} {32256}} x ^ {2} + { frac {859841695} {435456}} x - { frac {64472345} {27648}} & { frac {9} {2}} leq x <5 { frac {14714327} {4354560}} x ^ {4} - { frac {4466137} {62208}} x ^ {3} + { frac {165651247} {290304}} x ^ { 2} - { frac {875490655} {435456}} x + { frac {4614904015} {1741824}} & 5 leq x <{ frac {11} {2}} - { frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} + { frac {30717383} {725760}} x ^ {3} - { frac {179437319} {483840}} x ^ {2} + { frac {16606729} {11520}} x - { frac {869722273} {414720}} & { frac {11} {2}} leq x <6 { frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} - { frac {12698561} {725760}} x ^ {3} + { frac {16211669} {96768}} x ^ {2} - { frac {19138891} {26880}} x + { frac {3289787993} {2903040} } & 6 leq x <{ frac {13} {2}} - { frac {759239} {4354560}} x ^ {4} + { frac {10519741} {2177280}} x ^ {3} - { frac {10403603} {207360}} x ^ {2} + { frac {71964499} {311040}} x - { frac {3481646837} {8709120}} & { frac {13} {2}} leq x <7 { frac {118931} {4354560}} x ^ {4} - { frac {1774639} {2177280}} x ^ {3} + { frac {630259} {69120}} x ^ {2} - { frac {14096161} {311040}} x + { frac {245108501} {2903040}} & 7 leq x <{ frac {15} {2}} - { frac {9581} {4354560}} x ^ {4} + { frac {21863} {311040}} x ^ {3} - { frac {407387} {483840}} x ^ {2} + { frac {9758873} {2177280 }} x - { frac {25971499} {2903040}} & { frac {15} {2}} leq x <8 { frac {73} {1244160}} x ^ {4} - { frac {4343} {2177280}} x ^ {3} + { frac {5273} {207360}} x ^ {2} - { frac {313703} {2177280}} x + { frac {380873} {1244160} } & 8 leq x <{ frac {17} {2}} - { frac {1} {8709120}} x ^ {4} + { frac {1} {241920}} x ^ {3} - { frac {1} {17920}} x ^ {2} + { frac {3} {8960}} x - { frac {27} {35840}} & { frac {17} {2}} leq x <9 0 & { text {иначе}} end {case} }}$

Изображения B-сплайновых вейвлетов с компактным носителем

B-сплайн вейвлет порядка 1	B-сплайн вейвлет порядка 2
B-сплайн вейвлет 3-го порядка	B-сплайн-вейвлет порядка 4	B-сплайн вейвлет порядка 5

Вейвлеты Battle-Lemarie

Вейвлеты Батл-Лемари образуют класс ортонормированных вейвлетов, построенных с использованием класса кардинальных B-сплайнов. Выражения для этих вейвлетов даны в частотной области; то есть они определяются путем указания своих преобразований Фурье. Преобразование Фурье функции от т, сказать, ${ Displaystyle F (т)}$, обозначается ${ displaystyle { hat {F}} ( omega)}$.

Определение

Позволять м - натуральное число и пусть ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ - кардинальный B-сплайн порядка м. Преобразование Фурье ${ Displaystyle N_ {m} (х)}$ является ${ displaystyle { hat {N}} _ {m} ( omega)}$. Функция масштабирования ${ Displaystyle phi _ {м} (т)}$ для мВейвлет Батл-Лемари -го порядка - это функция, преобразование Фурье которой