WikiDer > Квадратные отклонения от среднего

Эта статья требует внимания эксперта по предмету. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. При размещении этого тега учитывайте связывая этот запрос с ВикиПроект. (Октябрь 2019)

Было предложено, чтобы эта статья была слился в Среднеквадратичное отклонение. (Обсуждать) Предлагается с октября 2020 года.

Квадратные отклонения от среднего (SDM) участвуют в различных расчетах. В теория вероятности и статистика, определение отклонение либо ожидаемое значение SDM (при рассмотрении теоретического распределение) или его среднее значение (для реальных экспериментальных данных). Расчеты для дисперсионный анализ вовлекают разбиение суммы SDM.

Вступление

Понимание используемых вычислений значительно улучшается за счет изучения статистической ценности

${displaystyle operatorname {E} (X ^ {2})}$, куда ${displaystyle operatorname {E}}$ - оператор ожидаемого значения.

Для случайная переменная ${displaystyle X}$ со средним ${displaystyle mu}$ и дисперсия ${displaystyle sigma ^ {2}}$,

${displaystyle sigma ^ {2} = operatorname {E} (X ^ {2}) - mu ^ {2}.}$^[1]

Следовательно,

${displaystyle operatorname {E} (X ^ {2}) = sigma ^ {2} + mu ^ {2}.}$

Из вышесказанного можно вывести следующее:

${displaystyle operatorname {E} left (сумма left (X ^ {2} ight) ight) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2},}$

${displaystyle operatorname {E} left (left (sum Xight) ^ {2} ight) = nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}.}$

Выборочная дисперсия

Сумма квадратов отклонений, необходимая для расчета выборочная дисперсия (прежде чем решить, делить ли на п или же п - 1) проще всего рассчитать как

${displaystyle S = сумма x ^ {2} - {frac {left (sum xight) ^ {2}} {n}}}$

Из двух производных ожиданий, приведенных выше, ожидаемое значение этой суммы равно

${displaystyle operatorname {E} (S) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2} - {frac {nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}} {n}}}$

что подразумевает

${displaystyle operatorname {E} (S) = (n-1) sigma ^ {2}.}$

Это эффективно доказывает использование делителя п - 1 в расчете на беспристрастный выборочная оценкаσ².

Разделение - дисперсионный анализ

В ситуации, когда данные доступны для k различные группы лечения, имеющие размер п_я куда я варьируется от 1 до k, то предполагается, что ожидаемое среднее значение каждой группы равно

${displaystyle operatorname {E} (mu _ {i}) = mu + T_ {i}}$

и дисперсия каждой группы лечения не отличается от дисперсии населения ${displaystyle sigma ^ {2}}$.

Согласно нулевой гипотезе о том, что лечение не оказывает никакого эффекта, каждый из ${displaystyle T_ {i}}$ будет ноль.

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Индивидуальный

${displaystyle I = сумма x ^ {2}}$

${displaystyle operatorname {E} (I) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2}}$

Лечение

${displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {k} left (left (sum xight) ^ {2} / n_ {i} ight)}$

${displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (mu + T_ {i}) ^ {2}}$

${displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2} + 2mu sum _ {i = 1} ^ {k} (n_ {i} T_ {i}) + сумма _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (T_ {i}) ^ {2}}$

При нулевой гипотезе, что методы лечения не вызывают различий и все ${displaystyle T_ {i}}$ равны нулю, математическое ожидание упрощается до

${displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2}.}$

Комбинация

${displaystyle C = left (сумма xight) ^ {2} / n}$

${displaystyle operatorname {E} (C) = sigma ^ {2} + nmu ^ {2}}$

Суммы квадратов отклонений

При нулевой гипотезе разница любой пары я, Т, и C не содержит зависимости от ${displaystyle mu}$, Только ${displaystyle sigma ^ {2}}$.

${displaystyle operatorname {E} (I-C) = (n-1) sigma ^ {2}}$ общие квадраты отклонений, также известные как общая сумма квадратов

${displaystyle operatorname {E} (T-C) = (k-1) sigma ^ {2}}$ лечение в квадрате отклонений, также известное как объясненная сумма квадратов

${displaystyle operatorname {E} (I-T) = (n-k) sigma ^ {2}}$ остаточные квадратные отклонения, также известные как остаточная сумма квадратов

Константы (п − 1), (k - 1) и (п − k) обычно называют количеством степени свободы.

Пример

В очень простом примере пять наблюдений возникают из двух обработок. Первая обработка дает три значения 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения 4 и 6.

${displaystyle I = {frac {1 ^ {2}} {1}} + {frac {2 ^ {2}} {1}} + {frac {3 ^ {2}} {1}} + {frac {4 ^ {2}} {1}} + {гидроразрыв {6 ^ {2}} {1}} = 66}$

${displaystyle T = {frac {(1 + 2 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(4 + 6) ^ {2}} {2}} = 12 + 50 = 62}$

${displaystyle C = {frac {(1 + 2 + 3 + 4 + 6) ^ {2}} {5}} = 256/5 = 51,2}$

Давать

Суммарные квадраты отклонений = 66 - 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадрат отклонений лечения = 62 - 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Остаточные квадратные отклонения = 66 - 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ

Следующий гипотетический пример показывает урожайность 15 растений, подверженных двум различным изменениям окружающей среды, и трех различных удобрений.

Рассчитываются пять сумм квадратов:

Фактор	Расчет	Сумма	${displaystyle sigma ^ {2}}$
Индивидуальный	${displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} + 7 ^ {2} + 6 ^ {2} + 11 ^ {2} + 6 ^ {2} + 10 ^ {2} + 7 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 11 ^ {2} + 4 ^ {2}}$	641	15
Удобрение × Окружающая среда	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1) ^ {2}} {3}} + {frac {(7 + 6) ^ {2}} {2}} + {frac {(11 + 6) ^ { 2}} {2}} + {frac {(10 + 7 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(5 + 3 + 4) ^ {2}} {3}} + {frac {(11 + 4) ^ {2}} {2}}}$	556.1667	6
Удобрения	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 7 + 6) ^ {2}} {5}} + {frac {(11 + 6 + 10 + 7 + 3) ^ {2}} {5}} + {гидроразрыв {(5 + 3 + 4 + 11 + 4) ^ {2}} {5}}}$	525.4	3
Среда	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4) ^ {2}} {8}} + {frac {(7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {7}}}$	519.2679	2
Композитный	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {15}}}$	504.6	1

Наконец, суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионный анализ можно рассчитать.

Фактор	Сумма	${displaystyle sigma ^ {2}}$	Общий	Среда	Удобрения	Удобрение × Окружающая среда	Остаточный
Индивидуальный	641	15	1				1
Удобрение × Окружающая среда	556.1667	6				1	−1
Удобрения	525.4	3			1	−1
Среда	519.2679	2		1		−1
Композитный	504.6	1	−1	−1	−1	1
Квадратные отклонения			136.4	14.668	20.8	16.099	84.833
Степени свободы			14	1	2	2	9

Смотрите также

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы расчета дисперсии
• Ошибки и остатки
• Наименьших квадратов
• Среднеквадратичная ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Разложение дисперсии

Рекомендации