WikiDer > Ступенчатая функция

Step function

В математике функция на действительные числа называется ступенчатая функция (или функция лестницы), если его можно записать как конечный линейная комбинация из индикаторные функции из интервалы. Неформально говоря, ступенчатая функция - это кусочно постоянная функция имея только конечное количество частей.

Пример ступенчатой функции (красный график). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывный вправо.

Определение и первые следствия

Функция ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ называется ступенчатая функция если это можно записать как^{[нужна цитата]}

{ displaystyle f (x) = sum limits _ {i = 0} ^ {n} alpha _ {i} chi _ {A_ {i}} (x)}

, для всех действительных чисел

{ displaystyle x}

где ${ Displaystyle п geq 0}$ , ${ displaystyle alpha _ {я}}$ настоящие числа, ${ displaystyle A_ {i}}$ интервалы, а ${ displaystyle chi _ {A}}$ это индикаторная функция из ${ displaystyle A}$ :

{ displaystyle chi _ {A} (x) = { begin {case} 1 & { text {if}} x in A 0 & { text {if}} x notin A end { случаи}}}

В этом определении интервалы ${ displaystyle A_ {i}}$ можно предположить, что он имеет следующие два свойства:

Интервалы попарно непересекающиеся: ${ Displaystyle A_ {i} cap A_ {j} = emptyset}$ за ${ displaystyle i neq j}$
В союз интервалов - это целая реальная линия: ${ displaystyle bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = mathbb {R}.}$

В самом деле, если это не так, можно выбрать другой набор интервалов, для которых выполняются эти предположения. Например, ступенчатая функция

{ Displaystyle е = 4 чи _ {[- 5,1)} + 3 чи _ {(0,6)}}

можно записать как

{ displaystyle f = 0 chi _ {(- infty, -5)} + 4 chi _ {[- 5,0]} + 7 chi _ {(0,1)} + 3 chi _ { [1,6)} + 0 chi _ {[6, infty)}.}

Варианты определения

Иногда требуется, чтобы интервалы открывались вправо.^[1] или разрешено быть одиночными.^[2] От условия, что набор интервалов должен быть конечным, часто отказываются, особенно в школьной математике.^[3]^[4]^[5] хотя он все еще должен быть локально конечным, что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Примеры

В Ступенчатая функция Хевисайда - часто используемая ступенчатая функция.

А постоянная функция является тривиальным примером ступенчатой функции. Тогда есть только один интервал, ${ displaystyle A_ {0} = mathbb {R}.}$
В функция знака ${ displaystyle operatorname {sgn} (x),}$ который равен -1 для отрицательных чисел и +1 для положительных чисел и является простейшей непостоянной ступенчатой функцией.
В Функция Хевисайда $ЧАС (Икс)$ , который равен 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентен функции знака с точностью до сдвига и масштаба диапазона ( ${ Displaystyle Н = ( OperatorName {sgn} +1) / 2}$ ). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторого теста сигналы, например, те, которые используются для определения пошаговая реакция из динамическая система.

В прямоугольная функция, следующая простейшая ступенчатая функция.

В прямоугольная функция, нормализованная функция товарного вагона, используется для моделирования единичного импульса.

Не примеры

В целая часть функция не является ступенчатой функцией согласно определению в этой статье, так как она имеет бесконечное количество интервалов. Однако некоторые авторы^[6] также определяют ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов.^[6]

Характеристики

Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова является ступенчатой функцией. Произведение ступенчатой функции на номер также является ступенчатой функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебра над реальными числами.
Шаговая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы ${ displaystyle A_ {i},}$ за ${ Displaystyle я = 0,1, точки, п}$ в приведенном выше определении ступенчатой функции не пересекаются, и их объединение представляет собой вещественную прямую, тогда ${ Displaystyle е (х) = альфа _ {я}}$ для всех ${ displaystyle x in A_ {i}.}$
В определенный интеграл ступенчатой функции является кусочно-линейная функция.
В Интеграл Лебега ступенчатой функции ${ displaystyle textstyle f = sum limits _ {i = 0} ^ {n} alpha _ {i} chi _ {A_ {i}}}$ является ${ displaystyle textstyle int f , dx = sum limits _ {i = 0} ^ {n} alpha _ {i} ell (A_ {i}), ,}$ где ${ displaystyle textstyle ell (A)}$ длина интервала ${ displaystyle A,}$ и здесь предполагается, что все интервалы ${ displaystyle A_ {i}}$ иметь конечную длину. Фактически, это равенство (рассматриваемое как определение) может быть первым шагом в построении интеграла Лебега.^[7]
А дискретная случайная величина иногда определяется как случайная переменная чья кумулятивная функция распределения кусочно-постоянная.^[8] В данном случае это локально ступенчатая функция (глобально она может иметь бесконечное количество шагов). Однако обычно любая случайная величина со счетным числом возможных значений называется дискретной случайной величиной, в этом случае их кумулятивная функция распределения не обязательно является локально ступенчатой функцией, так как бесконечное количество интервалов может накапливаться в конечной области.