WikiDer > Функция потока Стокса

Stokes stream function
Обтекает вокруг сфера в осесимметричный Стокса поток. В предельная скорость то сила сопротивления Fd уравновешивает силу Fграмм продвижение объекта.

В динамика жидкостей, то Функция потока Стокса используется для описания рационализирует и скорость потока в трехмерном несжимаемый поток с осесимметрия. Поверхность с постоянным значением функции тока Стокса охватывает струйная трубка, повсюду касательный векторам скорости потока. Далее объем поток внутри этой трубки тока постоянна, и все линии тока потока расположены на этой поверхности. В поле скорости связанный с функцией потока Стокса, соленоидный- у него ноль расхождение. Эта функция потока названа в честь Джордж Габриэль Стоукс.

Цилиндрические координаты

Точка с цилиндрическими координатами.

Рассмотрим цилиндрическая система координатρ , φ , z ), с z- ось осесимметричного течения несжимаемой жидкости, φ то азимутальный угол и ρ расстояние до z-ось. Тогда компоненты скорости потока тыρ и тыz можно выразить через функцию тока Стокса к:[1]

Азимутальная составляющая скорости тыφ не зависит от функции потока. Вследствие осесимметрии все три составляющие скорости (тыρ , тыφ , тыz ) зависит только от ρ и z а не по азимуту φ.

Объемный поток через поверхность, ограниченный постоянным значением ψ функции тока Стокса, равно 2π ψ.

Сферические координаты

Точка, построенная в сферической системе координат

В сферические координатыр , θ , φ ), р это радиальное расстояние от источник, θ это зенитный угол и φ это азимутальный угол. В осесимметричном потоке с θ = 0 ось симметрии вращения, величины, описывающие течение, снова не зависят от азимута φ. Составляющие скорости потока тыр и тыθ связаны с функцией тока Стокса через:[2]

Опять же, азимутальная составляющая скорости тыφ не является функцией функции тока Стокса ψ. Объемный поток через струйную трубку, ограниченную поверхностью постоянного ψ, равно 2π ψ, как прежде.

Завихренность

В завихренность определяется как:

, куда

с то единичный вектор в -направление.

В результате из расчета вектор завихренности оказывается равным:

Сравнение с цилиндрическим

Цилиндрическая и сферическая системы координат связаны через

  и  

Альтернативное определение с обратным знаком

Как объяснено в общем функция потока В статье также используются определения с использованием противоположных знаков - для связи между функцией тока Стокса и скоростью потока.[3]

Нулевое расхождение

В цилиндрических координатах расхождение поля скорости ты становится:[4]

как и ожидалось для несжимаемого потока.

И в сферических координатах:[5]

Линии тока как кривые постоянной функции тока

Из расчетов известно, что градиент вектор нормально к кривой (см., например, Набор уровней # Наборы уровней в зависимости от градиента). Если будет показано, что везде используя формулу для с точки зрения то это доказывает, что кривые уровня являются обтекаемыми формами.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах

.

и

Так что

Сферические координаты

И в сферических координатах

и

Так что

Примечания

  1. ^ Бэтчелор (1967), стр. 78.
  2. ^ Бэтчелор (1967), стр. 79.
  3. ^ Например. Бреннер, Ховард (1961). «Медленное движение шара через вязкую жидкость к плоской поверхности». Химическая инженерия. 16 (3–4): 242–251. Дои:10.1016/0009-2509(61)80035-3.
  4. ^ Бэтчелор (1967), стр. 602.
  5. ^ Бэтчелор (1967), стр. 601.

Рекомендации

  • Бэтчелор, Г. (1967). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
  • Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9. Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.
  • Стокса, Г. (1842 г.). «Об установившемся движении несжимаемой жидкости». Труды Кембриджского философского общества. 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS ... 7..439S.
    Печатается на: Стокса, Г. (1880 г.). Математические и физические документы, том I. Издательство Кембриджского университета. стр.1–16.