WikiDer > Сверхкомпактный кардинал

Supercompact cardinal

В теория множеств, а сверхкомпактный кардинал это тип большой кардинал. Они обладают множеством отражающих свойств.

Формальное определение

Если λ любое порядковый, κ является λ-суперкомпакт означает, что существует элементарное вложение j из вселенной V в переходный внутренняя модель M с критическая точка κ, j(κ)> λ и

То есть, M содержит все свои λ-последовательности. Тогда κ является сверхкомпактный означает, что он λ-суперкомпактен для всех ординалов λ.

В качестве альтернативы несчетный кардинал κ равен сверхкомпактный если для каждого А такой, что |А| ≥ κ существует нормальная мера над [А], в следующем смысле.

[А] определяется следующим образом:

An ультрафильтр U над [А] является отлично если он κ-полный и , для каждого . Нормальная мера более [А] прекрасный ультрафильтр U над [А] с дополнительным свойством, что каждая функция такой, что постоянна на множестве в . Здесь "постоянная на множестве в U"означает, что есть такой, что .

Характеристики

Сверхкомпактные кардиналы обладают отражающими свойствами. Если кардинал с некоторой собственностью (скажем, 3-огромный кардинал), о чем свидетельствует структура ограниченного ранга, существует над суперкомпактным кардиналом κ, то кардинал с этим свойством существует под κ. Например, если κ сверхкомпактный и Обобщенная гипотеза континуума ниже κ, то оно выполняется всюду, поскольку биекция между множеством степеней ν и кардиналом не менее ν++ будет свидетельством ограниченного ранга для отказа GCH в ν, поэтому он также должен существовать ниже κ.

Нахождение канонической внутренней модели суперкомпактных кардиналов - одна из основных проблем теория внутренней модели.

Смотрите также

Рекомендации

  • Дрейк, Ф. Р. (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
  • Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.