WikiDer > Суперквадрика

Некоторые суперквадрики.

В математика, то суперквадрика или же супер-квадрики (также суперквадратика) являются семьей геометрические фигуры определяется формулами, которые напоминают формулы эллипсоиды и другие квадрики, за исключением того, что возведение в квадрат операции заменяются произвольными степенями. Их можно рассматривать как трехмерных родственников суперэллипсы. Термин может относиться к твердому объекту или к его поверхность, в зависимости от контекста. Уравнения ниже определяют поверхность; твердое тело задается заменой знаков равенства знаками «меньше или равно».

Суперквадрики включают в себя множество форм, которые напоминают кубики, октаэдры, цилиндры, леденцы и шпиндели, с закругленными или острыми углами. Благодаря своей гибкости и относительной простоте они популярны. геометрическое моделирование инструменты, особенно в компьютерная графика.

Некоторые авторы, такие как Алан Барр, определите "суперквадрики" как включающие как суперэллипсоиды и супертороиды.^[1][2] Однако (собственные) супертороиды не являются суперквадриками, как определено выше; и, хотя некоторые суперквадрики являются суперэллипсоидами, ни одно из семейств не содержится в другом. Исчерпывающий охват геометрических свойств суперквадрик и методов их восстановления из диапазон изображений рассматривается в монографии ^[3].

Формулы

Неявное уравнение

Поверхность базовой суперквадрики имеет вид

${ displaystyle left | x right | ^ {r} + left | y right | ^ {s} + left | z right | ^ {t} = 1}$

куда р, s, и т положительные действительные числа, определяющие основные характеристики суперквадрики. А именно:

• меньше 1: остроконечный октаэдр модифицирован, чтобы иметь вогнутый лица и острый края.
• ровно 1: обычный октаэдр.
• между 1 и 2: октаэдр, модифицированный с выпуклыми гранями, тупыми краями и тупыми углами.
• ровно 2: сфера
• больше 2: куб с закругленными краями и углами.
• бесконечный (в предел): куб

Каждую экспоненту можно изменять независимо для получения комбинированных форм. Например, если р=s= 2 и т= 4, получается тело вращения, напоминающее эллипсоид с круглым поперечным сечением, но с плоскими концами. Эта формула является частным случаем формулы суперэллипсоида, если (и только если) р = s.

Если какой-либо показатель степени может быть отрицательным, форма расширяется до бесконечности. Такие формы иногда называют супергиперболоиды.

Базовая фигура выше охватывает от -1 до +1 вдоль каждой координатной оси. Общая суперквадрика - это результат масштабирование эта основная форма в разном количестве А, B, C по каждой оси. Его общее уравнение:

${ displaystyle left | { frac {x} {A}} right | ^ {r} + left | { frac {y} {B}} right | ^ {s} + left | { frac {z} {C}} right | ^ {t} = 1.}$

Параметрическое описание

Параметрические уравнения в терминах параметров поверхности ты и v (эквивалентно долготе и широте, если m равно 2)

${ displaystyle { begin {align} x (u, v) & {} = Ag left (v, { frac {2} {r}} right) g left (u, { frac {2}) {r}} right) y (u, v) & {} = Bg left (v, { frac {2} {s}} right) f left (u, { frac {2} {s}} right) z (u, v) & {} = Cf left (v, { frac {2} {t}} right) & - { frac { pi} { 2}} leq v leq { frac { pi} {2}}, quad - pi leq u < pi, end {align}}}$

где вспомогательные функции

${ Displaystyle { begin {выровнено} е ( omega, m) & {} = operatorname {sgn} ( sin omega) | sin omega | ^ {m} g ( omega, m) & {} = operatorname {sgn} ( cos omega) | cos omega | ^ {m} end {align}}}$

и функция знака sgn (Икс) является

${ displaystyle operatorname {sgn} (x) = { begin {cases} -1, & x <0 0, & x = 0 + 1, & x> 0. end {ases}}}$

Графический код

Следующее GNU Octave код генерирует сеточную аппроксимацию суперквадрики:

 функцияRetval=суперкадрика(эпсилон, а)п=50;  Этамакс=число Пи/2;  Этамин=-число Пи/2;  wmax=число Пи;  wmin=-число Пи;  Deta=(Этамакс-Этамин)/п;  dw=(wmax-wmin)/п;  [я,j] = сетка(1:п+1,1:п+1)  эта = Этамин + (я-1) * Deta;  ш  = wmin + (j-1) * dw;  Икс = а(1) .* знак(потому что(эта)) .* пресс(потому что(эта)).^эпсилон(1) .* знак(потому что(ш)) .* пресс(потому что(ш)).^эпсилон(1);  у = а(2) .* знак(потому что(эта)) .* пресс(потому что(эта)).^эпсилон(2) .* знак(грех(ш)) .* пресс(грех(ш)).^эпсилон(2);  z = а(3) .* знак(грех(эта)) .* пресс(грех(эта)).^эпсилон(3);  сетка(Икс,у,z);  конечная функция;

Рекомендации

Смотрите также

• Суперэгг

внешняя ссылка

• Библиография: Суперквадрические представления.
• Суперквадрические тензорные символы
• Эллипсоиды и тороиды SuperQuadric, освещение OpenGL и синхронизация
• Суперквадрика Роберт Краглер, Демонстрационный проект Wolfram.
• Суперквадрики на Python