WikiDer > Тавтологическое кольцо

Tautological ring

В алгебраическая геометрия, то тавтологическое кольцо это подкольцо Кольцо для чау-чау из пространство модулей кривых порожденные тавтологическими классами. Это классы, полученные из 1 путем прямого продвижения по различным морфизмам, описанным ниже. В кольцо тавтологических когомологий - образ тавтологического кольца при отображении цикла (от кольца Чжоу до кольца когомологий).

Определение

Позволять ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ быть стеком модулей стабильные отмеченные кривые ${ displaystyle (C; x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ , так что

C сложная кривая арифметического рода г единственными особенностями которого являются узлы,

то п точки Икс₁, ..., Икс_п различные гладкие точки C,

отмеченная кривая устойчива, а именно ее группа автоморфизмов (оставляющая отмеченные точки инвариантными) конечна.

Последнее условие требует ${ displaystyle 2g-2 + n> 0}$ другими словами (г,п) не входит в число (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). Стек ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ тогда имеет размер ${ displaystyle 3g-3 + n}$ . Помимо перестановок отмеченных точек, следующие морфизмы между этими стеками модулей играют важную роль в определении тавтологических классов:

Забывчивые карты ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} to { overline { mathcal {M}}} _ {g, n-1}}$ которые действуют путем удаления данной точки Икс_k из набора отмеченных точек, затем повторно стабилизируя отмеченную кривую, если она больше не стабильна^{[требуется разъяснение]}.

Склейка карт ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n + 1} times { overline { mathcal {M}}} _ {g ', n' + 1} to { overline { mathcal {M}}} _ {g + g ', n + n'}}$ которые определяют k-я отмеченная точка кривой до л-й отмеченной точкой другого. Другой набор карт склейки - это ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n + 2} to { overline { mathcal {M}}} _ {g + 1, n}}$ которые определяют k-й и л-й отмечены точки, таким образом увеличивая род, создавая замкнутый цикл.

В тавтологические кольца ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ одновременно определяются как наименьшие подкольца колец Чоу, замкнутые при прямом вызове с помощью забывания и склеивания отображений.^[1]

В кольцо тавтологических когомологий ${ displaystyle RH ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ это изображение ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ под картой цикла. По состоянию на 2016 год неизвестно, изоморфны ли тавтологические и тавтологические кольца когомологий.

Генераторная установка

Для ${ Displaystyle 1 Leq К Leq N}$ мы определяем класс ${ displaystyle psi _ {k} in R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ следующим образом. Позволять ${ displaystyle delta _ {k}}$ - прямой переход 1 вдоль карты склейки ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} times { overline { mathcal {M}}} _ {0,3} to { overline { mathcal {M} }} _ {g, n + 1}}$ который определяет отмеченную точку Икс_k первой кривой в одну из трех отмеченных точек y_я на сфере (последний выбор несущественен из-за автоморфизмов). Полученные точки для определенности упорядочим как Икс₁, ..., Икс_k−1, y₁, y₂, Икс_k+1, ..., Икс_п. потом ${ displaystyle psi _ {k}}$ определяется как продвижение ${ displaystyle - delta _ {k} ^ {2}}$ по забывчивой карте, которая забывает о сути y₂. Этот класс совпадает с первым классом Черна некоторого линейного расслоения.^[1]

Для ${ displaystyle i geq 1}$ мы также определяем ${ displaystyle kappa _ {i} in R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ быть толчком ${ displaystyle ( psi _ {k}) ^ {я + 1}}$ по забытой карте ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n + 1} to { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ что забывает k-й пункт. Это не зависит от k (просто переставьте точки).

Теорема.

{ displaystyle R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}

аддитивно порождается пересылками по (любому количеству) отображений мономов в

{ displaystyle psi}

и

{ displaystyle kappa}

классы.

Эти форварды одночленов (далее называемые базовыми классами) не образуют основы. Набор отношений полностью не известен.

Теорема. Тавтологические кольца инвариантны относительно откатов по склеивающим и забывчивым отображениям. Существуют универсальные комбинаторные формулы, выражающие продвижение вперед, откат и произведение базовых классов как линейные комбинации базовых классов.

Гипотезы Фабера

Тавтологическое кольцо ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ mathcal {M}} _ {g, n})}$ на пространстве модулей гладких построконечный род г кривые просто состоят из ограничений классов в ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {g, n})}$ . Мы опускаем п когда он равен нулю (когда нет отмеченной точки).

В этом случае ${ displaystyle n = 0}$ кривых без отмеченных точек, предположил Мамфорд, а Мэдсен и Вайсс доказали, что для любого ${ displaystyle d> 0}$ карта ${ displaystyle mathbb {Q} [ kappa _ {1}, kappa _ {2}, ldots] to H ^ { bullet} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ является изоморфизмом степени d для достаточно большого г. В этом случае все классы тавтологичны.

Гипотеза (Фабер). (1) Исчезают тавтологические кольца большой степени:

{ Displaystyle R ^ {d} ({ mathcal {M}} _ {g}) = 0}

для

{ displaystyle d> g-2.}

(2)

{ displaystyle R ^ {g-2} ({ mathcal {M}} _ {g}) cong mathbb {Q}}

и для этого изоморфизма существует явная комбинаторная формула. (3) Произведение (происходящее из кольца Чоу) классов определяет идеальную пару

{ displaystyle R ^ {d} ({ mathcal {M}} _ {g}) times R ^ {gd-2} ({ mathcal {M}} _ {g}) to R ^ {g- 2} ({ mathcal {M}} _ {g}) cong mathbb {Q}.}

Несмотря на то что ${ Displaystyle R ^ {d} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ тривиально исчезает для ${ displaystyle d> 3g-3}$ из-за размера ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ , предполагаемая оценка намного ниже. Гипотеза полностью определит структуру кольца: многочлен от ${ displaystyle kappa _ {j}}$ когомологической степени d обращается в нуль тогда и только тогда, когда его спаривание со всеми многочленами когомологической степени ${ displaystyle g-d-2}$ исчезает.

Части (1) и (2) гипотезы доказаны. Часть (3), также называемая гипотезой Горенштейна, проверялась только на ${ displaystyle g <24}$ . Для ${ displaystyle g = 24}$ и высший род, несколько способов построения отношений между ${ displaystyle kappa}$ классы обнаруживают тот же набор отношений, которые предполагают, что размеры ${ Displaystyle R ^ {d} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ и ${ displaystyle R ^ {g-d-2} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ разные. Если набор отношений, найденных этими методами, является полным, то гипотеза Горенштейна неверна. Помимо оригинального несистематического компьютерного поиска Фабера, основанного на классических отображениях между векторными расслоениями над ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {g} ^ {d}}$ , то d-я степень волокна универсальной кривой ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {g} = { mathcal {M}} _ {g, 1} twoheadrightarrow { mathcal {M}} _ {g}}$ , для поиска отношений использовались следующие методы:

Виртуальные классы пространства модулей стабильных факторов (над ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ ) Пандхарипанде и Пиксон.^[2]

Виттена р-спиновым классом и классификацией когомологических теорий поля Гивенталя-Телемана, использованной Пандхарипанде, Пиксоном, Звонкиным.^[3]

Геометрия универсального якобиана над ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, 1}}$ , пользователя Yin.

Степени тэта-делителя на универсальном абелевом многообразии, Грушевский и Захаров.^[4]

Доказано, что эти четыре метода дают одинаковый набор отношений.

Аналогичные гипотезы были сформулированы для пространств модулей ${ Displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {г, п}}$ устойчивых кривых и ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n} ^ { text {c.t.}}}$ устойчивых кривых компактного типа. Однако Петерсен-Томмази^[5] доказал, что ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ overline { mathcal {M}}} _ {2,20})}$ и ${ displaystyle R ^ { bullet} ({ mathcal {M}} _ {2,8} ^ { text {c.t.}})}$ не подчиняются (аналогичной) гипотезе Горенштейна. С другой стороны, Тавакол^[6] доказал, что для рода 2 пространство модулей устойчивых кривых с рациональными хвостами ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2, n} ^ { text {r.t.}}}$ подчиняется условию Горенштейна для каждого п.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Faber, C .; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv:1101.5489 [math.AG].
^ Pandharipande, R .; Пиксон, А. (2013). «Соотношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv:1301.4561 [math.AG].
^ Pandharipande, R .; Pixton, A .; Звонкин, Д. (2016). «Тавтологические отношения через структуры r-спина». arXiv:1607.00978 [math.AG].
^ Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелевого многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал герцога. 163 (5): 953–982. arXiv:1206.3534. Дои:10.1215/00127094-26444575.
^ Петерсен, Дэн; Томмази, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $ mathcal { bar M} _ {2, n} $». Математические изобретения. 196 (2014): 139. arXiv:1210.5761. Bibcode:2014InMat.196..139P. Дои:10.1007 / s00222-013-0466-z.
^ Тавакол, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_ {2, n} ^ rt». arXiv:1101.5242 [math.AG].

Вакил, Рави (2003), «Пространство модулей кривых и его тавтологическое кольцо» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 50 (6): 647–658, Г-Н 1988577
Грабер, Том; Вакил, Рави (2001), "На тавтологическом кольце ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ " (PDF), Турецкий математический журнал, 25 (1): 237–243, Г-Н 1829089

[auto-1] а ^б Faber, C .; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv:1101.5489 [math.AG].

[2] Pandharipande, R .; Пиксон, А. (2013). «Соотношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv:1301.4561 [math.AG].

[3] Pandharipande, R .; Pixton, A .; Звонкин, Д. (2016). «Тавтологические отношения через структуры r-спина». arXiv:1607.00978 [math.AG].

[4] Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелевого многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал герцога. 163 (5): 953–982. arXiv:1206.3534. Дои:10.1215/00127094-26444575.

[5] Петерсен, Дэн; Томмази, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $ mathcal { bar M} _ {2, n} $». Математические изобретения. 196 (2014): 139. arXiv:1210.5761. Bibcode:2014InMat.196..139P. Дои:10.1007 / s00222-013-0466-z.

[6] Тавакол, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_ {2, n} ^ rt». arXiv:1101.5242 [math.AG].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Navigation