WikiDer > Номер такси

Taxicab number
В анекдоте Г. Х. Харди, больной Шриниваса Рамануджан (рисунок) развил идею номеров такси.

В математика, то пth номер такси, обычно обозначаемый Ta (п) или такси (п), также называемый пth Число Харди – Рамануджана, определяется как наименьшее целое число, которое может быть выражено как сумма двух положительный целые кубики в п разными способами. Самый известный номер такси - 1729 = Та (2) = 13 + 123 = 93 + 103.

Название происходит от разговора около 1919 года с участием математики Г. Х. Харди и Шриниваса Рамануджан. Как сказал Харди:

Я помню, как однажды я пошел к нему [Рамануджану], когда он лежал больным в Путни. Я ехал в такси № 1729и заметил, что число показалось довольно скучным, и я надеюсь, что это не плохой знак. «Нет, - ответил он, - это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух [положительных] кубиков двумя разными способами».[1][2]

История и определение

Впервые концепция была упомянута в 1657 г. Бернар Френкл де Бесси, который опубликовал число Харди – Рамануджана Ta (2) = 1729. Этот конкретный пример 1729 года стал известен в начале 20-го века благодаря рассказу о Шриниваса Рамануджан. В 1938 г. Г. Х. Харди и Э. М. Райт доказал, что такие числа существуют для всех положительных целые числа п, и их доказательство легко превращается в программу для генерации таких чисел. Однако доказательство не делает никаких заявлений о том, являются ли сгенерированные таким образом числа наименьший возможный и поэтому его нельзя использовать для определения действительного значения Ta (п).

Номера такси после 1729 года были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получили Ta ​​(3) в 1957 г. Э. Розенштиль, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенштиель обнаружили Ta ​​(4) в 1989 г.[3] Дж. А. Дардис обнаружил Ta (5) в 1994 г. и подтвердил это Дэвидом У. Уилсоном в 1999 г.[4][5] Ta (6) был объявлен Уве Холлербахом в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 г.[6] после статьи Calude et al. что давало 99% -ную вероятность того, что число действительно было Ta (6).[7] Верхние границы от Ta (7) до Ta (12) были найдены Кристианом Бойером в 2006 году.[8]

Ограничение слагаемые к положительным числам необходимо, потому что разрешение отрицательных чисел позволяет использовать больше (и меньше) экземпляров чисел, которые могут быть выражены как суммы кубов в п разными способами. Концепция номер такси был введен, чтобы учесть альтернативные, менее ограничительные определения этого характера. В некотором смысле указание двух слагаемых и степеней трех также является ограничительным; а общий номер такси позволяет этим значениям быть отличными от двух и трех соответственно.

Известные номера такси

На данный момент известны следующие 6 номеров такси:

Верхняя граница для номеров такси

Для следующих номеров такси известны верхние границы:

Номера такси Cubefree

Более строгая задача такси требует, чтобы номер такси был свободным от куба, что означает, что он не делится ни на какой куб, кроме 1.3. Когда номер такси без куба Т записывается как Т = Икс3 + у3, цифры Икс и у должно быть относительно простым. Среди перечисленных выше номеров такси Ta (n) только Ta (1) и Ta (2) являются номерами такси без куба. Наименьший номер такси без куба с тремя изображениями был обнаружен Пол Войта (не опубликовано) в 1981 году, когда он был аспирантом. это

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

Наименьший номер такси без куба с четырьмя изображениями был обнаружен Стюартом Гаскойном и независимо Дунканом Муром в 2003 году.

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843

(последовательность A080642 в OEIS).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Цитаты Г. Х. Харди, MacTutor History of Mathematics В архиве 2012-07-16 в Wayback Machine
  2. ^ Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Такси и суммы двух кубиков». Амер. Математика. Ежемесячно. 100: 331–340. Дои:10.2307/2324954.
  3. ^ Колонка подсчета чисел, Мир персональных компьютеров, страница 234, ноябрь 1989 г.
  4. ^ Колонка подсчета чисел журнала Personal Computer World, страница 610, февраль 1995 г.
  5. ^ «Пятый номер такси - 48988659276962496» Дэвида Уилсона.
  6. ^ Архивы NMBRTHRY - март 2008 г. (№ 10) «Шестой номер такси - 24153319581254312065344» Уве Холлербаха.
  7. ^ К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин: В чем ценность Taxicab (6) ?, Журнал универсальных компьютерных наук, Vol. 9 (2003), стр. 1196–1203
  8. ^ «Новые верхние границы для номеров такси и такси» Кристиан Бойе, Франция, 2006–2008 гг.

Рекомендации

  • Г. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел, 3-е изд., Oxford University Press, Лондон и Нью-Йорк, 1954, Thm. 412.
  • Дж. Пиявка, Некоторые решения диофантовых уравнений, Proc. Camb. Фил. Soc. 53, 778–780, 1957.
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis и C.R. Rosenstiel, Четыре наименьших решения в различных натуральных числах диофантовых уравнений = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = м3 + п3, Бык. Inst. Математика. Appl., 27(1991) 155–157; МИСТЕР1125858, онлайн.
  • Дэвид В. Уилсон, Пятый номер такси - 48988659276962496., Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 2 (1999), онлайн. (Уилсон не знал о предыдущем открытии Та (5) Дж. А. Дардисом в 1994 г., когда писал это.)
  • Д. Дж. Бернштейн, Перечисление решений p (a) + q (b) = r (c) + s (d), Математика вычислений 70, 233 (2000), 389–394.
  • К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин: Какова стоимость Taxicab (6)?, Журнал универсальных компьютерных наук, Vol. 9 (2003), стр. 1196–1203

внешняя ссылка