WikiDer > Тензорная производная (механика сплошной среды)

Эта статья имеет нечеткий стиль цитирования. Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитата и сноска. (Июнь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В производные из скаляры, векторов, и второго порядка тензоры относительно тензоров второго порядка, широко используются в механика сплошной среды. Эти производные используются в теориях нелинейная упругость и пластичность, особенно в дизайне алгоритмы за численное моделирование.^[1]

В производная по направлению обеспечивает систематический способ поиска этих производных.^[2]

Производные по векторам и тензорам второго порядка

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов

Позволять ж(v) - вещественная функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это вектор определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование

${displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Df (mathbf {v}) [mathbf {u}] = left [{frac {m {d}} {{m { d}} alpha}} ~ f (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}$

для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает скаляр, и если ты единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в ты направление.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (mathbf {v}) + f_ {2} (mathbf {v})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial mathbf {v}}} + {frac {partial f_ {2}) } {частичный mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}$
2. Если ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (mathbf {v}) ~ f_ {2} (mathbf {v})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight) ~ f_) {2} (mathbf {v}) + f_ {1} (mathbf {v}) ~ left ({frac {partial f_ {2}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$
3. Если ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (f_ {2} (mathbf {v}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {partial f_ {1}} {partial f_ {2}}} ~ {frac {partial f_ {2}} { частичный mathbf {v}}} cdot mathbf {u}}$

Производные векторных функций векторов

Позволять ж(v) - вектор-функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это тензор второго порядка определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование

${displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Dmathbf {f} (mathbf {v}) [mathbf {u}] = left [{frac {m {d }} {{m {d}} alpha}} ~ mathbf {f} (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}$

для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает вектор, и если ты - единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в направленном ты.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) + mathbf {f} _ {2} (mathbf {v})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {v}}}} + { frac {частичный mathbf {f} _ {2}} {частичный mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}$
2. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) imes mathbf {f} _ {2} (mathbf {v})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf) {u} ight) imes mathbf {f} _ {2} (mathbf {v}) + mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) Время осталось ({frac {partial mathbf {f} _ {2} } {частичный mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$
3. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {f} _ {2} (mathbf {v}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {f} _ {2}}} cdot left ({frac {partial mathbf {f} _ {2}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${displaystyle f ({oldsymbol {S}})}$ - вещественная функция тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Тогда производная от ${displaystyle f ({oldsymbol {S}})}$ относительно ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (или в ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) в направлении ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ это тензор второго порядка определяется как

${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = Df ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol {T}}] = left [{frac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ f ({oldsymbol {S}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight] _ {alpha = 0}}$

для всех тензоров второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {S}}) + f_ {2} ({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {S}}}}} + {frac {partial f_ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}} ight): {oldsymbol {T}}}$
2. Если ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {S}}) ~ f_ {2} ({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} ight) ~ f_ {2} ({oldsymbol {S}}) + f_ {1} ({oldsymbol {S}}) ~ left ({frac {partial f_ {2}} {partial {oldsymbol {S}) }}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$
3. Если ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} (f_ {2} ({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial f_ {1}} {partial f_ {2}}} ~ left ({frac {partial f_ {2}} {частично {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}})}$ - тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Тогда производная от ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}})}$ относительно ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (или в ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) в направлении ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ это тензор четвертого порядка определяется как

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = D {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol { T}}] = left [{frac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) полет ] _ {альфа = 0}}$

для всех тензоров второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) + {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol { S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial) {oldsymbol {S}}}} + {frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}} ight): {oldsymbol {T}}}$
2. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) cdot {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol { S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial) {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight) cdot {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}) + {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) cdot left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$
3. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial {oldsymbol] {F}} _ {2}}}: слева ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$
4. Если ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {F}} _ {2}}}: left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$

Градиент тензорного поля

В градиент, ${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}}}$тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ в направлении произвольного постоянного вектора c определяется как:

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} cdot mathbf {c} = lim _ {alpha ightarrow 0} quad {cfrac {d} {dalpha}} ~ {oldsymbol {T}} (mathbf {x} + альфа mathbf {c})}$

Градиент тензорного поля порядка п тензорное поле порядка п+1.

Декартовы координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Если ${displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$ являются базисными векторами в Декартова координата системы, координаты точек которой обозначены (${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$), то градиент тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ дан кем-то

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i}}$

Доказательство

Векторы Икс и c можно записать как ${displaystyle mathbf {x} = x_ {i} ~ mathbf {e} _ {i}}$ и ${displaystyle mathbf {c} = c_ {i} ~ mathbf {e} _ {i}}$ . Позволять у := Икс + αc. В этом случае градиент определяется как ${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} cdot mathbf {c} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ {oldsymbol { T}} (x_ {1} + alpha c_ {1}, x_ {2} + alpha c_ {2}, x_ {3} + alpha c_ {3}) ight | _ {alpha = 0} Equiv left. {Cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ {oldsymbol {T}} (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) полет | _ {alpha = 0} & = left [{cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial y_ {1}}}} ~ {cfrac {partial y_ {1}} {partial alpha}} + {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial y_ {2}}} ~ {cfrac {partial y_ {2}} {partial alpha}} + {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial y_ {3}}} ~ {cfrac {partial y_ {3}) } {partial alpha}} ight] _ {alpha = 0} = left [{cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial y_ {1}}} ~ c_ {1} + {cfrac {partial {oldsymbol {T}]) }}} {частичный y_ {2}}} ~ c_ {2} + {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {частичный y_ {3}}} ~ c_ {3} полет] _ {alpha = 0} & = {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {1}}} ~ c_ {1} + {cfrac {partial {oldsymbol {T}}}} {partial x_ {2}}} ~ c_ {2 } + {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {3}}} ~ c_ {3} Equiv {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x _ {i}}} ~ c_ {i} = {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {i}}} ~ (mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {c}) = left [ {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i} ight] cdot mathbf {c} qquad квадратный конец {выровнен}}}$

Поскольку базисные векторы не меняются в декартовой системе координат, мы имеем следующие соотношения для градиентов скалярного поля ${displaystyle phi}$, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi & = {cfrac {partial phi} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {i} = phi _ {, i} ~ mathbf {e } _ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v} & = {cfrac {partial (v_ {j} mathbf {e} _ {j})} {partial x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i} = {cfrac {partial v_ {j}} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {i} = v_ {j, i} ~ mathbf { e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {cfrac {partial (S_ {jk} mathbf {e} _ {j} otimes mathbf { e} _ {k})} {частично x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i} = {cfrac {partial S_ {jk}} {частично x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ { j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} = S_ {jk, i} ~ mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} конец {выровнено}}}$

Криволинейные координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Если ${displaystyle mathbf {g} ^ {1}, mathbf {g} ^ {2}, mathbf {g} ^ {3}}$ являются контравариантный базисные векторы в криволинейная координата системы, координаты точек которой обозначены (${displaystyle xi ^ {1}, xi ^ {2}, xi ^ {3}}$), то градиент тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ дается (см. ^[3] для доказательства.)

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {frac {partial {oldsymbol {T}}} {partial xi ^ {i}}} otimes mathbf {g} ^ {i}}$

Из этого определения получаем следующие соотношения для градиентов скалярного поля ${displaystyle phi}$, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi & = {frac {partial phi} {partial xi ^ {i}}} ~ mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v } & = {frac {partial left (v ^ {j} mathbf {g} _ {j} ight)} {partial xi ^ {i}}} иногда mathbf {g} ^ {i} = left ({frac {partial v ^ {j}} {частично xi ^ {i}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {j} ight) ~ mathbf {g} _ {j} otimes mathbf {g} ^ {i } = left ({frac {partial v_ {j}} {partial xi ^ {i}}} - v_ {k} ~ Gamma _ {ij} ^ {k} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {frac {partial left (S_ {jk} ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {k}) ight)} {частично xi ^ {i}}} otimes mathbf {g} ^ {i} = left ({frac {partial S_ {jk}} {partial xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ Gamma _ {ij} ^ {l} -S_ {jl} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {k} otimes mathbf {g} ^ {i } конец {выровнен}}}$

где Символ Кристоффеля ${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k}}$ определяется с использованием

${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} ~ mathbf {g} _ {k} = {frac {partial mathbf {g} _ {i}} {partial xi ^ {j}}} quad подразумевает quad Gamma _ {ij } ^ {k} = {frac {partial mathbf {g} _ {i}} {partial xi ^ {j}}} cdot mathbf {g} ^ {k} = - mathbf {g} _ {i} cdot {frac {частичное mathbf {g} ^ {k}} {частичное xi ^ {j}}}}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрические координаты, градиент определяется выражением

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi = {} quad & {frac {partial phi} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} ~ {frac {partial phi} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial phi} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} mathbf { v} = {} quad & {frac {partial v_ {r}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial v_ {heta}} { частичный r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial v_ {z}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} left ({frac {partial v_ {r}} {partial heta}} - v_ {heta} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} left ({frac {partial v_ {heta}} {partial heta}} + v_ {r} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} {frac {partial v_ {z}} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {partial v_ {r}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial v_ {heta}} {частичное z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} + {fr ac {partial v_ {z}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} = {} quad & { frac {partial S_ {rr}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {rr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ { rr}} {partial heta}} - (S_ {heta r} + S_ {r heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {partial S_ {r heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e}_ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {r heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf { e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {r heta}} {partial heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {rz}} {partial r}} ~ mathbf {e } _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {rz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf { e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {rz}} {partial heta}} - S_ {heta z} ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {heta r}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta r}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta r}} {partial heta}} + (S_ {rr } -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes math bf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {heta heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta heta}} {partial heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ { heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {heta z}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta } otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta z}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta z}} {partial heta}} + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e } _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {zr}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {zr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} lef t [{frac {partial S_ {zr}} {partial heta}} - S_ {z heta} ight] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {partial S_ {z heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {z heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} { r}} left [{frac {partial S_ {z heta}} {partial heta}} + S_ {zr} ight] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {zz}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ { r} + {frac {partial S_ {zz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} ~ {frac {partial S_ {zz}} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} конец {выровнено} }}$

Дивергенция тензорного поля

В расхождение тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ определяется с помощью рекурсивного отношения

${displaystyle ({oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {T}}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} cdot left (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}} ^ {extsf {T}} ight) ~; qquad {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = {ext {tr}} ({oldsymbol {abla}} mathbf {v})}$

куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле. Если ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ тензорное поле порядка п > 1, то дивергенция поля есть тензор порядка п− 1.

Декартовы координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

В декартовой системе координат имеем следующие соотношения для векторного поля v и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = {frac {partial v_ {i}} {partial x_ {i}}}} = v_ {i, i} {oldsymbol {abla} } cdot {oldsymbol {S}} & = {frac {partial S_ {ki}} {partial x_ {k}}} ~ mathbf {e} _ {i} = S_ {ki, k} ~ mathbf {e} _ { i} конец {выровнен}}}$

куда обозначение тензорного индекса для частных производных используется в крайних правых выражениях. Последнее соотношение можно найти в ссылке ^[4] при соотношении (1.14.13).

Согласно той же статье в случае тензорного поля второго порядка:

${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} eq operatorname {div} {oldsymbol {S}} = {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} ^ {extsf {T}}.}$

Важно отметить, что существуют другие письменные соглашения о расходимости тензора второго порядка. Например, в декартовой системе координат расходимость тензора второго ранга также может быть записана как^[5]

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = {cfrac {partial S_ {ki}} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {k} = S_ {ki, i} ~ mathbf {e} _ {k} конец {выровнено}}}$

Разница заключается в том, выполняется ли дифференцирование по строкам или столбцам ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$, и является обычным. Это демонстрируется на примере. В декартовой системе координат тензор (матрица) второго порядка ${displaystyle mathbf {S}}$ градиент вектор-функции ${displaystyle mathbf {v}}$.

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {i, j} ~ mathbf {e}) _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, ji} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} = left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight) _ {, j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight ) {oldsymbol {abla}} cdot left [left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) ^ {extsf {T}} ight] & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {j, i } ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {j, ii} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e } _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} mathbf {v} end {align}}}$

Последнее уравнение эквивалентно альтернативному определению / интерпретации^[5]

${displaystyle {egin {align} left ({oldsymbol {abla}} cdot ight) _ {ext {alt}} left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) = left ({oldsymbol {abla}} cdot ight) ) _ {ext {alt}} left (v_ {i, j} ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, jj} ~ mathbf {e} _ { i} otimes mathbf {e} _ {j} cdot mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {i} ~ mathbf {e} _ {i} = {oldsymbol {abla} } ^ {2} mathbf {v} конец {выровнено}}}$

Криволинейные координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

В криволинейных координатах расходимости векторного поля v и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ находятся

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = left ({cfrac {partial v ^ {i}} {partial xi ^ {i}}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {i} ight) {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = left ({cfrac {partial S_ {ik}} {partial xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ Gamma _ {ii} ^ {l} -S_ {il} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {k} end {выровнено}}}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрические полярные координаты

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = quad & {frac {partial v_ {r}} {partial r}} + {frac {1} {r}} left ({frac { partial v_ {heta}} {partial heta}} + v_ {r} ight) + {frac {partial v_ {z}} {partial z}} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} = quad & {frac {partial S_ {rr}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {r heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} + { frac {partial S_ {rz}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta r}}] {partial heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta heta} } {partial heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta} z}} {partial heta}} + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {partial S_ {zr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {z heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial S_ {zz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} конец {выровнен}}}$

Ротор тензорного поля

В завиток порядкап > 1 тензорное поле ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ также определяется с помощью рекурсивного отношения

${displaystyle ({oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {T}}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}}) ~; qquad ({oldsymbol { abla}} imes mathbf {v}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} imes mathbf {c})}$

куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле.

Ротор тензорного (векторного) поля первого порядка

Рассмотрим векторное поле v и произвольный постоянный вектор c. В индексных обозначениях перекрестное произведение дается выражением

${displaystyle mathbf {v} imes mathbf {c} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j} ~ c_ {k} ~ mathbf {e} _ {i}}$

куда ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ это символ перестановки, иначе известный как символ Леви-Чивита. Потом,

${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} imes mathbf {c}) = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ c_ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes mathbf {v}) cdot mathbf {c}}$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}}$

Ротор тензорного поля второго порядка

Для тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$

${displaystyle mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}} = c_ {m} ~ S_ {mj} ~ mathbf {e} _ {j}}$

Следовательно, используя определение ротора тензорного поля первого порядка,

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}}) = varepsilon _ {ijk} ~ c_ {m} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S }}) cdot mathbf {c}}$

Следовательно, мы имеем

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S}} = varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}}$

Тождества с ротором тензорного поля

Наиболее часто используемое тождество с ротором тензорного поля, ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$, является

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}}) = {oldsymbol {0}}}$

Это тождество выполняется для тензорных полей всех порядков. В важном случае тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$, из этого тождества следует, что

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {0}} quad подразумевает quad S_ {mi, j} -S_ {mj, i} = 0}$

Производная определителя тензора второго порядка

Производная определителя тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ дан кем-то

${displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det ({oldsymbol {A}}) = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}$

В ортонормированном базисе компоненты ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ можно записать в виде матрицы А. В этом случае правая часть соответствует сомножителям матрицы.

Доказательство

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ - тензор второго порядка и пусть ${displaystyle f ({oldsymbol {A}}) = det ({oldsymbol {A}})}$. Тогда из определения производной скалярнозначной функции тензора имеем ${displaystyle {egin {align} {frac {partial f} {partial {oldsymbol {A}}}}}: {oldsymbol {T}} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha }} det ({oldsymbol {A}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight | _ {alpha = 0} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha} } det left [alpha ~ {oldsymbol {A}} left ({cfrac {1} {alpha}} ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T }} ight) ight] ight | _ {alpha = 0} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} left [alpha ^ {3} ~ det ({oldsymbol { A}}) ~ det left ({cfrac {1} {alpha}} ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ight] ight | _ {альфа = 0} .end {выровнено}}}$ Определитель тензора можно выразить в виде характеристического уравнения через инварианты ${displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ с помощью ${displaystyle det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}}) = lambda ^ {3} + I_ {1} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda + I_ {3} ({oldsymbol {A}}).}$ Используя это расширение, мы можем написать ${displaystyle {egin {align} {frac {partial f} {partial {oldsymbol {A}}}}}: {oldsymbol {T}} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha }} left [alpha ^ {3} ~ det ({oldsymbol {A}}) ~ left ({cfrac {1} {alpha ^ {3}}} + I_ {1} left ({oldsymbol {A}} ^ { -1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ {cfrac {1} {alpha ^ {2}}} + I_ {2} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T} } ight) ~ {cfrac {1} {alpha}} + I_ {3} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ight) ight] ight | _ {alpha = 0} & = left.det ({oldsymbol {A}}) ~ {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} left [1 + I_ {1} left ({oldsymbol {A}) } ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha + I_ {2} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {2} + I_ {3} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {3} ight] ight | _ {alpha = 0} & = left.det ( {oldsymbol {A}}) ~ left [I_ {1} ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}}) + 2 ~ I_ {2} left ({oldsymbol {A}} ^ {-1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha + 3 ~ I_ {3} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {2} ight] ight | _ {alpha = 0} & = det ({oldsymbol {A}}) ~ I_ {1} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ .end {выровнено}}}$ Напомним, что инвариант ${displaystyle I_ {1}}$ дан кем-то ${displaystyle I_ {1} ({oldsymbol {A}}) = {ext {tr}} {oldsymbol {A}}.}$ Следовательно, ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {A}}}}: {oldsymbol {T}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ {ext {tr}} left ({oldsymbol {A}}) ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}}: {oldsymbol {T}}.}$ Ссылаясь на произвол ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ тогда у нас есть ${displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {A}}}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T} } ~.}$

Производные инвариантов тензора второго порядка

Основные инварианты тензора второго порядка:

${displaystyle {egin {align} I_ {1} ({oldsymbol {A}}) & = {ext {tr}} {oldsymbol {A}} I_ {2} ({oldsymbol {A}}) & = {frac {1} {2}} влево [({ext {tr}} {oldsymbol {A}}) ^ {2} - {ext {tr}} {{oldsymbol {A}} ^ {2}} ight] I_ {3} ({oldsymbol {A}}) & = det ({oldsymbol {A}}) конец {выровнено}}}$

Производные этих трех инвариантов по ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ находятся

${displaystyle {egin {align} {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = {oldsymbol {mathit {1}}} [3pt] {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} [3pt] {frac {partial I_ { 3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} = I_ { 2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ~ left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}}) ^ {extsf {T}} ight) = left ({oldsymbol {A}} ^ {2} -I_ {1} ~ {oldsymbol {A}} + I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ight ) ^ {extsf {T}} конец {выровнено}}}$

Доказательство

Из производной определителя мы знаем, что ${displaystyle {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}$ Что касается производных двух других инвариантов, вернемся к характеристическому уравнению ${displaystyle det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) = lambda ^ {3} + I_ {1} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda + I_ {3} ({oldsymbol {A}}) ~.}$ Используя тот же подход, что и для определителя тензора, можно показать, что ${displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}) }} + {oldsymbol {A}}) ~ left [(lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}$ Теперь левую часть можно расширить как ${displaystyle {egin {align} {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) & = {frac {partial} {частичный {старый символ {A}}}} слева [лямбда ^ {3} + I_ {1} ({старый символ {A}}) ~ лямбда ^ {2} + I_ {2} ({старый символ {A}}) ~ лямбда + I_ {3} ({oldsymbol {A}}) ight] & = {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ .end {align}}}$ Следовательно ${displaystyle {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ left [(lambda ~ {oldsymbol { mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}}}$ или же, ${displaystyle (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {extsf {T}} cdot left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}] } ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} бег ] = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.}$ Расширение правой части и разделение терминов в левой части дает ${displaystyle left (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) cdot left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}] }}} ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}} } ight] = left [lambda ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}}}}$ или же, ${displaystyle {egin {align} left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {3} ight. & left. + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ight] {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T} } cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = left [лямбда ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}} } ~ .end {выровнено}}}$ Если мы определим ${displaystyle I_ {0}: = 1}$ и ${displaystyle I_ {4}: = 0}$, мы можем записать это как ${displaystyle {egin {align} left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {3} ight. & left. + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight] {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}} } ~ лямбда ^ {3} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = left [I_ {0} ~ lambda ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}}} ~ .end {выровнено}}}$ Собирая слагаемые, содержащие различные степени λ, получаем ${displaystyle {egin {align} lambda ^ {3} & left (I_ {0} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ { oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + лямбда ^ {2} left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol { A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + & qquad qquad lambda left (I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1 }}} - {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + left (I_ {3} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol) {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) = 0 ~ .end {выровнено}}}$ Тогда, используя произвольность λ, имеем ${displaystyle {egin {align} I_ {0} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}} } - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = 0 I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1) }}} - {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - { frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2 }} {partial {oldsymbol {A}}}} & = 0 I_ {3} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = 0 ~ .end {выровнено}}}$ Отсюда следует, что ${displaystyle {egin {align} {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = {oldsymbol {mathit {1}}} {frac {partial I_ {2}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} {frac {частичный I_ {3}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ~ left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit { 1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) = left ({oldsymbol {A}} ^ {2} -I_ {1} ~ {oldsymbol {A}} + I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ight) ^ {extsf {T}} конец {выровнено}}}$