WikiDer > Tolman-Länge

Das MautmannLänge${Anzeigestil-Delta}$, auch bekannt als Tolmans Delta misst, inwieweit die Oberflächenspannung eines kleinen Flüssigkeitstropfens vom Wert der flachen Flüssigkeitsoberfläche abweicht. Man könnte also die Tolmanlänge als Korrektur der Oberflächenspannung infolge der Krümmung der Flüssigkeitsoberfläche sehen.

Die Tolman-Länge wird durch eine Ausdehnung des Differenzdrucks definiert ${Anzeigestil Delta p}$ zwischen der Innenseite und der Außenseite des Tropfens in Bezug auf ${Displaystil 1/R}$, mit ${Displaystil R=R_{e}}$ der Radius, bei dem sich auf beiden Seiten der Grenzfläche netto gleiche Teilchenzahlen befinden:

In diesem Ausdruck gibt ${Anzeigestil Delta p=p_{l}-p_{v}}$ die Druckdifferenz zwischen dem Druck in der Masse der Flüssigkeit und dem Druck des Flüssigkeitsdampfes außen und ${Displaystil-Sigma}$ ist der Oberflächenspannung der flachen Flüssigkeitsoberfläche, d. h. der Oberfläche ohne Krümmung, ${displaystyle R=infty }$. Die Mautman-Länge ${Anzeigestil-Delta}$ ist damit die führende Korrektur in einer Expansion in ${Displaystil 1/R}$.

Eine andere Möglichkeit, die Tolman-Länge zu definieren, besteht darin, die Radiusabhängigkeit der Oberflächenspannung für ein Flüssigkeitströpfchen zu betrachten, ${Displaystil Sigma(R)}$. Der erste Term in einer solchen Erweiterung sieht so aus

bei welchem ${Displaystil Sigma(R)}$ bezeichnet die Oberflächenspannung (oder überschüssige freie Oberflächenenergie) eines Flüssigkeitströpfchens vom Radius R, während ${Displaystil-Sigma}$ gibt den Wert in der Grenze von R bis unendlich an (d. h. den Wert von ${Displaystil-Sigma}$, die ebene Fläche).

In beiden Definitionen sehen wir die Tolman-Länge definiert als Koeffizient in einer Ausdehnung in ${Displaystil 1/R}$ und wird es auch ${Anzeigestil-Delta }$ nicht vom Radius abhängig.

Darüber hinaus kann die Tolman-Länge auf den spontanen Krümmungsradius bezogen werden, wenn man die Freie-Energie-Methode von Helfrich mit der Tolman-Methode vergleicht:

Jedes Ergebnis für die Tolman-Länge sagt also auch etwas über den spontanen Krümmungsradius aus, ${displaystyle R_{0}}$. Wenn eine Fläche eine positive Biegesteifigkeit hat (k > 0) bedeutet eine positive Tolmanlänge, dass die Grenzfläche zur Flüssigphase hin gekrümmt ist, während eine negative Tolmanlänge einen negativen Krümmungsradius impliziert und die Flüssigkeitsoberfläche eine bevorzugte Krümmung zur Gasphase hat.

Neben dem Zusammenhang zwischen der Tolmanlänge und dem spontanen Krümmungsradius kann die Tolmanlänge auch mit dem sogenannten Oberfläche der Spannung. Die Oberfläche der Spannung befindet sich an einem einzigartigen Ort ${Displaystil R=R_{s}}$ so dass die Laplace-Gleichung für alle möglichen Krümmungsradien des Tropfens exakt ist:

wahr ${displaystyle sigma _{s}=sigma (R=R_{s})}$ repräsentiert die Oberflächenspannung genau auf die Spannungsfläche. Mit der Adsorptionsgleichung von Gibbs zeigte Tolman selbst, dass die Tolman-Länge durch die Menge der adsorbierten Substanz an der Grenzfläche an der Stelle, an der die Spannungsoberfläche auftritt, ausgedrückt werden kann:

wahr ${displaystyle Delta ho _{0}=ho _{l,0}-ho _{v,0}}$ der Dichteunterschied zwischen flüssiger und gasförmiger Phase; die tiefgestellte Null zeigt an, dass wir die Dichte betrachten, wenn beide Phasen koexistieren. Es kann gezeigt werden, dass der Unterschied zwischen der äquimolaren Oberfläche (aufgefasst durch Gibbs) und der Spannungsbereich ist genau die Tolman-Länge:

wobei die Positionen dieser Oberflächen durch gekennzeichnet sind ${displaystyle z_{e},z_{s}}$. Die Tolman-Länge liegt typischerweise in der Größenordnung von Nanometern.

Verweise

1. RC Tolman, J.Chem. Phys. 17, 333 (1949)
2. J. S. Rowlinson und B. Weisheit, Molekulare Theorie der Kapillarität (Clarendon, Oxford, 1982)
3. E. M. Blokhuis und J. Kuipers, J.Chem. Phys. 124, 074701 (2006)