WikiDer > Ядро перехода

Transition kernel

в математика вероятности, а переходное ядро или же ядро это функция в математике, которая имеет различные приложения. Например, ядра могут использоваться для определения случайные меры или же случайные процессы. Наиболее важным примером ядер являются Марковские ядра.

Определение

Позволять , быть двумя измеримые пространства. Функция

называется (переходным) ядром из к тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:[1]

  • Для любых фиксированных отображение
является измеримый
  • За каждый фиксированный отображение
это мера

Классификация переходных ядер

Ядра перехода обычно классифицируются по определяемым ими мерам. Эти меры определены как

с

для всех и все . В этих обозначениях ядро называется[1][2]

  • а субстохастическое ядро, суб-вероятностное ядро или субмарковское ядро я упал находятся маловероятные меры
  • а Марковское ядро, стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро, если все находятся вероятностные меры
  • а конечное ядро я упал находятся конечные меры
  • а -конечное ядро я упал находятся -конечные меры
  • а s-конечное ядро я упал находятся s-конечные меры
  • а равномерно -конечное ядро если существует не более чем счетное число измеримых множеств в с для всех и все .

Операции

В этом разделе пусть , и измеримые пространства и обозначим произведение σ-алгебры из и с

Продукт ядер

Определение

Позволять - s-конечное ядро ​​из к и - s-конечное ядро ​​из к . Тогда товар двух ядер определяется как[3][4]

для всех .

Свойства и комментарии

Продукт двух ядер - это ядро ​​от к . Это снова s-конечное ядро ​​и -конечное ядро, если и находятся -конечные ядра. Продукт ядер также ассоциативный, то есть удовлетворяет

для любых трех подходящих s-конечных ядер .

Продукт также хорошо определен, если это ядро ​​из к . В данном случае это рассматривается как ядро ​​из к это не зависит от . Это эквивалентно установке

для всех и все .[4][3]

Состав ядер

Определение

Позволять - s-конечное ядро ​​из к и s-конечное ядро ​​из к . Тогда композиция двух ядер определяется как[5][3]

для всех и все .

Свойства и комментарии

Состав - ядро ​​из к это снова s-конечно. Состав ядер ассоциативный, то есть удовлетворяет

для любых трех подходящих s-конечных ядер . Как и продукт ядер, состав также хорошо определен, если это ядро ​​из к .

Альтернативное обозначение композиции - [3]

Ядра как операторы

Позволять - множество положительно измеримых функций на .

Каждое ядро из к можно связать с линейный оператор

данный[6]

Состав этих операторов совместим с составом ядер, то есть[3]

Рекомендации

  1. ^ а б Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.180. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  2. ^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 30. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
  3. ^ а б c d е Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 33. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
  4. ^ а б Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.279. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  5. ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.281. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  6. ^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. С. 29–30. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.