WikiDer > Усеченное распределение

Truncated distribution
Усеченное распределение
Функция плотности вероятности
TnormPDF.png
Функция плотности вероятности для усеченного нормального распределения для различных наборов параметров. Во всех случаях, а = −10 и б = 10. Для черного: μ = −8, σ = 2; синий: μ = 0, σ = 2; красный: μ = 9, σ = 10; апельсин: μ = 0, σ = 10.
Поддерживать
PDF
CDF
Иметь в виду
Медиана

В статистика, а усеченное распределение это условное распределение что является результатом ограничения домена некоторых других распределение вероятностей. Усеченные распределения возникают в практической статистике в случаях, когда возможность записывать или даже знать о событиях ограничена значениями, лежащими выше или ниже заданного порога или в заданном диапазоне. Например, если проверяются даты рождения детей в школе, они, как правило, подлежат усечению по сравнению с датами рождения всех детей в этом районе, учитывая, что школа принимает только детей определенного возраста в конкретную дату. Не было бы информации о том, сколько детей в этом районе родились до или после даты закрытия школы, если бы для получения информации использовался только прямой доступ к школе.

Если выборка такова, чтобы сохранить сведения об элементах, выходящих за пределы требуемого диапазона, без регистрации фактических значений, это называется цензура, в отличие от усечение здесь.[1]

Определение

Следующее обсуждение относится к случайной величине, имеющей непрерывное распространение хотя те же идеи применимы к дискретные распределения. Точно так же в обсуждении предполагается, что усечение происходит до полуоткрытого интервала. у ∈ (а, б], но другие возможности могут быть обработаны напрямую.

Предположим, у нас есть случайная величина, который распределяется согласно некоторой функции плотности вероятности, , с кумулятивной функцией распределения оба имеют бесконечное поддерживать. Предположим, мы хотим узнать плотность вероятности случайной величины после ограничения опоры между двумя константами, чтобы опора, . То есть, предположим, мы хотим знать, как распространяется с учетом .

куда для всех и где-либо еще. То есть, куда - индикаторная функция. Обратите внимание, что знаменатель в усеченном распределении постоянен по отношению к .

Обратите внимание, что на самом деле это плотность:

.

В усеченных дистрибутивах нет необходимости удалять части сверху и снизу. Усеченный дистрибутив, в котором удалена только нижняя часть распределения, выглядит следующим образом:

куда для всех и везде, и это кумулятивная функция распределения.

Усеченный дистрибутив, в котором удалена верхняя часть распределения, выглядит следующим образом:

куда для всех и везде, и это кумулятивная функция распределения.

Ожидание усеченной случайной величины

Предположим, мы хотим найти ожидаемое значение случайной величины, распределенной в соответствии с плотностью и совокупное распределение учитывая, что случайная величина, , больше некоторого известного значения . Таким образом, ожидание усеченной случайной величины:

где снова является для всех и где-либо еще.

Сдача и - нижний и верхний пределы соответственно поддержки исходной функции плотности (которое мы предполагаем непрерывным), свойства , куда является некоторой непрерывной функцией с непрерывной производной, включают:

(я)

(ii)

(iii)

и

(iv)

(v)

При наличии ограничений, то есть: , и куда представляет собой либо или же .

Примеры

В усеченное нормальное распределение это важный пример.[2]

В Модель Tobit использует усеченное распределение. Другие примеры включают усеченный бином при x = 0 и усеченный пуассон при x = 0.

Случайное усечение

Предположим, у нас есть следующая настройка: значение усечения, , выбирается случайным образом из плотности, , но этого значения не наблюдается. Тогда значение, , выбирается случайным образом из усеченного распределения, . Предположим, мы наблюдаем и хотим обновить наше мнение о плотности учитывая наблюдение.

Во-первых, по определению:

, и

Заметь должно быть больше чем , поэтому при интегрировании по , мы устанавливаем нижнюю границу . Функции и - безусловная плотность и безусловная кумулятивная функция распределения соответственно.

К Правило Байеса,

который расширяется до

Два равномерных распределения (пример)

Предположим, мы знаем, что т равномерно распределена из [0,Т] и Икс|т распределена равномерно на [0,т]. Позволять грамм(т) и ж(Икс|т) - плотности, описывающие т и Икс соответственно. Предположим, мы наблюдаем значение Икс и хотите знать распределение т учитывая эту ценность Икс.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Додж, Ю. (2003) Оксфордский словарь статистических терминов. ОУП. ISBN 0-19-920613-9
  2. ^ Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения, Том 1, Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (Раздел 10.1)