WikiDer > Двухоментная модель решения

В теория принятия решений, экономика, и финансы, а двухоментная модель решения это модель, которая описывает или же предписывает процесс принятия решений в контексте, в котором лицо, принимающее решение, сталкивается с случайные переменные чьи реализации не могут быть известны заранее, и в которых выбор делается на основе знания двух моменты этих случайных величин. Эти два момента почти всегда средние, то есть ожидаемое значение, который является первым моментом около нуля, и отклонение, который является вторым моментом о среднем (или стандартное отклонение, который представляет собой квадратный корень из дисперсии).

Наиболее известная двухфакторная модель решения - это модель современная теория портфолио, что приводит к решающей части Модель ценообразования капитальных активов; они используют анализ среднего отклоненияи сосредоточьтесь на среднем значении и дисперсии окончательной стоимости портфеля.

Двухоментные модели и максимизация ожидаемой полезности

Предположим, что все соответствующие случайные величины находятся в одном и том же семья в масштабе местности, что означает, что распределение каждой случайной величины такое же, как распределение некоторого линейного преобразования любой другой случайной величины. Тогда для любого функция полезности фон Неймана – Моргенштерна, использование схемы решения средней дисперсии согласуется с ожидаемая полезность максимизация,^[1][2] как показано в примере 1:

Пример 1:^{[3][4][5][6][7][8][9][10]} Пусть будет один рискованный актив со случайной доходностью ${ displaystyle r}$, и один безрисковый актив с известной доходностью ${ displaystyle r_ {f}}$, и пусть начальное богатство инвестора будет ${ displaystyle w_ {0}}$. Если сумма ${ displaystyle q}$, переменная выбора, должна быть инвестирована в рискованный актив, а сумма ${ displaystyle w_ {0} -q}$ должен быть инвестирован в безопасный актив, тогда, в зависимости от ${ displaystyle q}$, случайное окончательное богатство инвестора будет ${ displaystyle w = (w_ {0} -q) r_ {f} + qr}$. Тогда при любом выборе ${ displaystyle q}$, ${ displaystyle w}$ распространяется как преобразование масштаба местоположения${ displaystyle r}$. Если мы определим случайную величину ${ displaystyle x}$ как равный в распределении ${ displaystyle { tfrac {w- mu _ {w}} { sigma _ {w}}},}$ тогда ${ displaystyle w}$ равен по распределению ${ displaystyle mu _ {w} + sigma _ {w} x}$, куда μ представляет ожидаемое значение, а σ представляет случайную величину стандартное отклонение (квадратный корень из его второго момента). Таким образом, мы можем записать ожидаемую полезность в терминах двух моментов${ displaystyle w}$:

${ displaystyle operatorname {E} u (w) = int _ {- infty} ^ { infty} ! u ( mu _ {w} + sigma _ {w} x) f (x) , dx Equiv v ( mu _ {w}, sigma _ {w}),}$

куда ${ Displaystyle и ( cdot)}$ это функция полезности фон Неймана – Моргенштерна, ${ displaystyle f (x)}$ это функция плотности из ${ displaystyle x}$, и ${ Displaystyle v ( cdot, cdot)}$ - производная функция выбора среднего стандартного отклонения, которая по форме зависит от функции плотности ж. Предполагается, что функция полезности фон Неймана-Моргенштерна возрастает, что подразумевает, что большее богатство предпочтительнее меньшего, и предполагается, что она является вогнутой, что равносильно предположению о том, что индивид является не рисковать.

Можно показать, что частная производная от v относительно μ_ш положительна, а частная производная от v относительно σ_ш отрицательный; таким образом, более ожидаемое богатство всегда приветствуется, а больший риск (измеряемый стандартным отклонением богатства) всегда неприемлем. Среднее стандартное отклонение кривая безразличия определяется как геометрическое место точек (σ_ш, μ_ш) с σ_ш нанесен горизонтально, так что Eты(ш) имеет одинаковое значение во всех точках локуса. Тогда производные от v подразумевают, что каждая кривая безразличия имеет восходящий наклон, то есть вдоль любой кривой безразличия dμ_ш / dσ_ш > 0. Более того, можно показать^[3] что все такие кривые безразличия выпуклые: вдоль любой кривой безразличия, d²μ_ш / d(σ_ш)² > 0.

Пример 2: Анализ портфеля в примере 1 можно обобщить. Если есть п рискованные активы вместо одного, и если их доходность совместно эллиптически распределенные, то все портфели можно полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией, то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют идентичные распределения доходности портфеля, а все возможные портфели имеют распределения доходности, которые зависят от масштаба местоположения. друг друга.^[11][12] Таким образом, оптимизация портфеля может быть реализована с использованием двухфакторной модели принятия решений.

Пример 3: Предположим, что ценообразование, не склонный к риску фирма должна взять на себя обязательство производить определенное количество продукции q прежде чем наблюдать за реализацией рынка п цены товара.^[13] Проблема его решения - выбрать q чтобы максимизировать ожидаемую полезность прибыли:

Увеличить Eты(pq – c(q) – грамм),

где E - ожидаемое значение оператор ты - функция полезности фирмы, c это его функция переменных затрат, и грамм это его фиксированная цена. Все возможные распределения случайного дохода фирмы pq, основанный на всевозможных вариантах выбора q, связаны с масштабом местоположения; таким образом, проблема принятия решения может быть сформулирована в терминах ожидаемой стоимости и дисперсии дохода.

Принятие решения о непредвиденной полезности

Если лицо, принимающее решение не ожидаемый максимизатор полезности, принятие решений все еще можно сформулировать в терминах среднего и дисперсии случайной величины, если все альтернативные распределения для непредсказуемого результата являются преобразованиями друг друга в масштабе местоположения.^[14]

Смотрите также

• Теория принятия решений
• Выбор межвременного портфеля
• Микроэкономика

Рекомендации