WikiDer > Тип (теория моделей) - Википедия

Type (model theory) - Wikipedia

В теория моделей и смежные области математика, а тип это объект, который описывает, как (реальный или возможный) элемент или конечный набор элементов в математическая структура может вести себя. Точнее, это набор первый заказ формулы на языке L со свободными переменными Икс1, Икс2,…, Иксп которые верны для последовательности элементов L-структура . В зависимости от контекста типы могут быть полный или же частичный и они могут использовать фиксированный набор констант, А, из структуры . Вопрос о том, какие типы представляют собой фактические элементы приводит к идеям насыщенные модели и исключение типов.

Формальное определение

Рассмотрим структура для язык L. Позволять M быть вселенная конструкции. Для каждого А ⊆ M, позволять L(А) быть языком, полученным из L добавив константу cа для каждого а ∈ А. Другими словами,

А 1-тип (из ) над А это набор п(Икс) формул в L(А) с не более чем одной свободной переменной Икс (поэтому 1-тип) такой, что для любого конечного подмножества п0(Икс) ⊆ п(Икс) существует некоторое б ∈ M, в зависимости от п0(Икс), с (т.е. все формулы в п0(Икс) верны в когда Икс заменяется на б).

Аналогичным образом п-тип ) над А определяется как набор п(Икс1,…,Иксп) = п(Икс) формул в L(А), каждая из которых имеет свободные переменные, встречающиеся только среди заданных п свободные переменные Икс1,…,Иксп, такое, что для любого конечного подмножества п0(Икс) ⊆ п(Икс) есть некоторые элементы б1,…,бп ∈ M с .

А полный тип из над А тот, который максимальный относительно включения. Равно как для каждого либо или же . Любой неполный тип называется частичный тип. Итак, слово тип вообще относится к любому п-тип, частичный или полный, по любому выбранному набору параметров (возможно, пустому набору).

An п-тип п(Икс) называется реализовано в если есть элемент б ∈ Mп такой, что . Существование такой реализации гарантируется для любого типа теорема компактности, хотя реализация может иметь место в некоторых элементарное расширение из , а не в сам. Если полный тип реализуется б в , то тип обычно обозначается и упоминается как полный тип б над А.

Тип п(Икс) называется изолированные от , за , если . Поскольку конечные подмножества типа всегда реализуются в , всегда есть элемент б ∈ Mп такой, что φ(б) верно в ; т.е. , таким образом б реализует весь изолированный тип. Таким образом, изолированные типы будут реализованы в каждой элементарной подструктуре или расширении. Из-за этого нельзя пропустить изолированные типы (см. Ниже).

Модель, реализующая максимально возможное разнообразие типов, называется насыщенная модель, а сверхмощный конструкция предоставляет один из способов создания насыщенных моделей.

Примеры типов

Рассмотрим язык с одной бинарной связкой, которую мы обозначим как . Позволять быть структурой для этого языка, который является порядковым со стандартной хорошей упорядоченностью. Позволять обозначают теорию .

Рассмотрим набор формул . Во-первых, мы утверждаем, что это тип. Позволять быть конечным подмножеством . Нам нужно найти который удовлетворяет всем формулам в . Что ж, мы можем просто взять преемника самого большого порядкового номера, упомянутого в наборе формул . Тогда это будет явно содержать все ординалы, упомянутые в . Таким образом, мы имеем это тип. Затем обратите внимание, что не реализуется в . Ибо, если бы это было, были бы некоторые который содержит каждый элемент . Если бы мы хотели реализовать тип, у нас могло возникнуть соблазн рассмотреть модель , которая действительно является супермоделью который понимает тип. К сожалению, это расширение не элементарно, то есть данная модель не должна удовлетворять . В частности, приговор доволен этой моделью, а не .

Итак, мы хотим реализовать тип в простейшем расширении. Мы можем сделать это, определив новую структуру на языке, которую мы обозначим . Домен структуры будет куда набор целых чисел, украшенный таким образом, что . Позволять обозначают обычный порядок . Интерпретируем символ в нашей новой структуре . Идея состоит в том, что мы добавляем "-цепочка ", или копия целых чисел, прежде всего конечных ординалов. Очевидно, что любой элемент понимает тип . Более того, можно убедиться, что это расширение элементарно.

Другой пример: полный тип числа 2 над пустым набором, рассматриваемым как член натуральных чисел, будет набором всех операторов первого порядка, описывающих переменную. Икс, что верно, когда Икс = 2. Этот набор будет включать такие формулы, как , , и . Это пример изолированного типа, поскольку, работая над теорией натуральных чисел, формула подразумевает все остальные формулы, которые верны относительно числа 2.

В качестве дальнейшего примера утверждения

и

описывая квадратный корень из 2 согласуются с аксиомами упорядоченные поля, и может быть расширен до полного типа. Этот тип не реализуется в упорядоченном поле рациональных чисел, но реализуется в упорядоченном поле вещественных чисел. Точно так же бесконечный набор формул (над пустым набором) {x> 1, x> 1 + 1, x> 1 + 1 + 1, ...} не реализуется в упорядоченном поле действительных чисел, а реализуется в упорядоченном поле гиперреалы. Если мы разрешаем параметры, например все вещественные числа, мы можем указать тип что реализуется бесконечно малый гиперреальное, что нарушает Архимедова собственность.

Причина, по которой полезно ограничить параметры определенным подмножеством модели, заключается в том, что это помогает отличать типы, которые могут быть удовлетворены, от тех, которые не могут. Например, используя весь набор действительных чисел в качестве параметров, можно сгенерировать бесчисленное множество формул типа , , ... это явно исключило бы все возможные реальные значения для Икс, и поэтому никогда не может быть реализовано в реальных числах.

Каменные пространства

Полезно рассматривать комплект полной п-типы более А как топологическое пространство. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности формул в свободных переменных Икс1,…, Иксп с параметрами в А:

Можно показать, что тогда и только тогда, когда они содержатся в точно таких же полных типах.

Набор формул в свободных переменных Икс1,…,Иксп над А с точностью до этого отношения эквивалентности является Булева алгебра (и канонически изоморфен множеству А-определяемые подмножества Mп). Полный п-типы соответствуют ультрафильтры этой булевой алгебры. Комплект полного п-типы могут быть преобразованы в топологическое пространство, взяв наборы типов, содержащие данную формулу, в качестве основных открытых множеств. Это создает Каменное пространство, который компактный, Хаусдорф, и полностью отключен.

Пример. Полная теория алгебраически замкнутые поля из характеристика 0 имеет исключение квантора, что позволяет показать, что возможные полные 1-типы (над пустым множеством) соответствуют:

  • Корни данного неприводимый непостоянный многочлен над рациональными числами с ведущим коэффициентом 1. Например, тип квадратного корня из 2. Каждый из этих типов является открытой точкой пространства Камня.
  • Трансцендентные элементы, которые не являются корнями любого ненулевого многочлена. Этот тип - закрытая, но не открытая точка в пространстве Камня.

Другими словами, 1-типы в точности соответствуют первичным идеалам кольца многочленов Q[Икс] над рациональными Q: если р является элементом модели типа п, то идеал, соответствующий п - множество многочленов с р как корень (который является нулевым многочленом, если р трансцендентно). В общем, полный п-типы соответствуют первичным идеалам кольца многочленов Q[Икс1,...,Иксп], другими словами, в точки простой спектр этого кольца. (Топологию пространства Стоуна фактически можно рассматривать как Топология Зарисского из Логическое кольцо индуцируется естественным образом из булевой алгебры. Хотя топология Зарисского в общем случае не хаусдорфова, она имеет место в случае булевых колец.) Например, если q(Икс,у) является неприводимым многочленом от двух переменных, существует 2-тип, реализации которого (неформально) пары (Икс,у) элементов с q(Икс,у)=0.

Теорема об исключении типов

Учитывая полное п-тип п можно спросить, существует ли модель теории, которая пропускает пДругими словами, нет п-комплект в модели, реализующий п. Если п является изолированная точка в пространстве Камня, т.е. если {п} - открытый набор, легко видеть, что каждая модель реализует п (по крайней мере, если теория полная). В теорема об исключении типов говорит, что наоборот, если п не изолирована, то существует счетная модель, исключающая п (при условии, что язык счетный).

Пример: В теории алгебраически замкнутых полей характеристики 0 существует 1-тип, представленный элементами, трансцендентными над основное поле. Это неизолированная точка пространства Стоуна (фактически единственная неизолированная точка). Поле алгебраических чисел - это модель, исключающая этот тип, и алгебраическое замыкание любого трансцендентное расширение из рациональных - это модель, реализующая этот тип.

Все остальные типы являются «алгебраическими числами» (точнее, они представляют собой наборы утверждений первого порядка, которым удовлетворяет некоторое заданное алгебраическое число), и все такие типы реализуются во всех алгебраически замкнутых полях характеристики 0.

Рекомендации

  • Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая теория модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58713-1.
  • Чанг, К.; Кейслер, Х. Джером (1989). Модельная теория (третье изд.). Эльзевир. ISBN 0-7204-0692-7.
  • Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: введение. Тексты для выпускников по математике 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.