WikiDer > Унимодулярная решетка

Unimodular lattice

В геометрия и математический теория групп, а унимодулярная решетка является интегральным решетка из детерминант 1 или -1. Для решетки в п-мерное евклидово пространство, это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальная область для решетки быть 1.

В E8 решетка и Решетка пиявки два известных примера.

Определения

  • А решетка это свободная абелева группа конечных ранг с симметричная билинейная форма (·,·).
  • Решетка интеграл if (·, ·) принимает целые значения.
  • В измерение решетки совпадает с ее рангом (как Z-модуль).
  • В норма элемента решетки а является (а, а).
  • Решетка - это положительно определенный если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • В детерминант решетки - это определитель Матрица Грама, матрица с элементами я, аj), где элементы ая составляют основу решетки.
  • Целостная решетка - это унимодулярный если его определитель равен 1 или −1.
  • Унимодулярная решетка есть даже или тип II если все нормы четные, иначе странный или тип I.
  • В минимум положительно определенной решетки - наименьшая ненулевая норма.
  • Решетки часто вкладываются в реальное векторное пространство с симметричной билинейной формой. Решетка положительно определенный, Лоренциан, и так далее, если его векторное пространство.
  • В подпись решетки - это подпись формы в векторном пространстве.

Примеры

Три наиболее важных примера унимодулярных решеток:

  • Решетка Z, в одном измерении.
  • В E8 решетка, четная 8-мерная решетка,
  • В Решетка пиявки, 24-мерная четная унимодулярная решетка без корней.

Свойства

Решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда ее двойная решетка является цельным. Унимодулярные решетки равны своим двойственным решеткам, и по этой причине унимодулярные решетки также известны как самодуальные.

Учитывая пару (м,п) целых неотрицательных чисел, четная унимодулярная решетка сигнатуры (м,п) существует тогда и только тогда, когда м-н делится на 8, но имеет нечетную унимодулярную решетку сигнатуры (м,п) всегда существует. В частности, даже унимодулярные определенные решетки существуют только в размерности, кратной 8. Примеры для всех допустимых сигнатур даются IIм, н и ям, н конструкции соответственно.

В тета-функция унимодулярной положительно определенной решетки является модульная форма чей вес составляет половину ранга. Если решетка четная, форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, форма имеет Γ0(4) структура (т.е. это модульная форма уровня 4). Из-за ограничения размерности пространств модулярных форм минимальная норма ненулевого вектора четной унимодулярной решетки не превышает ⎣п/ 24⎦ + 1. Четная унимодулярная решетка, для которой достигается эта оценка, называется экстремальной. Известны экстремальные ровные унимодулярные решетки соответствующих размеров до 80,[1] и их отсутствие было доказано для размеров более 163 264.[2]

Классификация

Для неопределенных решеток классификацию легко описать. рм, н для м + п мерное векторное пространстворт + п с внутренним произведением (а1, ..., ам+п) и (б1, ..., бм+п) предоставлено

В рм, н существует одна нечетная неопределенная унимодулярная решетка с точностью до изоморфизма, обозначаемая

ям,п,

который задается всеми векторами (а1,...,ам+прм,п со всеми ая целые числа.

Не существует неопределенных даже унимодулярных решеток, если только

мп делится на 8,

в этом случае есть единственный пример с точностью до изоморфизма, обозначаемый

IIм,п.

Это задается всеми векторами (а1,...,ам+прм,п так что либо все ая являются целыми числами или все они целые плюс 1/2, и их сумма четна. Решетка II8,0 такой же, как E8 решетка.

Положительно определенные унимодулярные решетки классифицированы до размерности 25. Есть уникальный пример. яп,0 в каждом измерении п меньше 8 и два примера (я8,0 и II8,0) в размерности 8. Количество решеток умеренно увеличивается до размера 25 (где их 665 штук), но за пределами измерения 25 размер Формула масс Смита-Минковского-Зигеля подразумевает, что число очень быстро увеличивается с увеличением размера; например, в измерении 32 имеется более 80 000 000 000 000 000.

В некотором смысле унимодулярные решетки до размерности 9 управляются E8, а до размерности 25 они контролируются решеткой Пиявки, и это объясняет их необычайно хорошее поведение в этих измерениях. Например, Диаграмма Дынкина векторов нормы-2 унимодулярных решеток в размерности до 25 можно естественным образом отождествить с конфигурацией векторов в решетке Лича. Резкое увеличение числа сверх 25 измерений может быть связано с тем, что эти решетки больше не контролируются решеткой Пиявки.

Даже положительно определенная унимодулярная решетка существует только в размерностях, кратных 8. Есть одна в размерности 8 ( E8 решетка), два в размерности 16 (E82 и II16,0) и 24 в размерности 24, называемые Решетки Нимейера (примеры: Решетка пиявки, II24,0, II16,0 + II8,0, II8,03). За пределами 24 измерений число увеличивается очень быстро; в 32 измерениях их более миллиарда.

Унимодулярные решетки без корни (векторы с нормой 1 или 2) были классифицированы до размерности 28. Нет ни одной размерности меньше 23 (кроме нулевой решетки!). В измерении 23 есть один (называемый короткая решетка пиявки), два в размерности 24 (решетка Лича и нечетная решетка пиявок), и Бачер и Венков (2001) показал, что есть 0, 1, 3, 38 в размерностях 25, 26, 27, 28 соответственно. Помимо этого число очень быстро увеличивается; их не менее 8000 в размерности 29. При достаточно больших размерностях большинство унимодулярных решеток не имеют корней.

Единственный ненулевой пример даже положительно определенных унимодулярных решеток без корней в размерности меньше 32 - это решетка Пиявки в размерности 24. В размерности 32 существует более десяти миллионов примеров, а выше размерности 32 число растет очень быстро.

Следующая таблица из (Король 2003) дает количество (или нижние оценки) четных или нечетных унимодулярных решеток в различных измерениях и показывает очень быстрый рост, начинающийся вскоре после размерности 24.

РазмерНечетные решеткиНечетные решетки
без корней
Четные решеткиЧетные решетки
без корней
00011
110
210
310
410
510
610
710
8101 (E8 решетка)0
920
1020
1120
1230
1330
1440
1550
16602 (E82, D16+)0
1790
18130
19160
20280
21400
22680
231171 (более короткая решетка пиявки)
242731 (нечетная решетка пиявок)24 (решетки Нимейера)1 (решетка пиявки)
256650
26≥ 23071
27≥ 141793
28≥ 32797238
29≥ 37938009≥ 8900
30≥ 20169641025≥ 82000000
31≥ 5000000000000≥ 800000000000
32≥ 80000000000000000≥ 10000000000000000≥ 1160000000≥ 10900000

За пределами 32 измерений числа увеличиваются еще быстрее.

Приложения

Секунда группа когомологий закрытого односвязный ориентированный топологический 4-х коллекторный является унимодулярной решеткой. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти определяет многообразие: такое многообразие существует только для каждой четной унимодулярной решетки и ровно два для каждой нечетной унимодулярной решетки. В частности, если мы возьмем решетку равной 0, это влечет Гипотеза Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкий; плавный и решетка положительно определена, то она должна быть суммой копий Z, поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкая структура. Одним из таких примеров является Коллектор E8.

использованная литература

  1. ^ Небе, Габриэле; Слоан, Нил. «Унимодулярные решетки вместе с таблицей лучших таких решеток». Интернет-каталог решеток. Получено 2015-05-30.
  2. ^ Небе, Габриэле (2013). "Теория решеток и сферических конструкций Бориса Венкова". Ин Ван, Вай Киу; Фукшанский, Ленни; Шульце-Пиллот, Райнер; и другие. (ред.). Диофантовы методы, решетки и арифметическая теория квадратичных форм. Современная математика. 587. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 1–19. arXiv:1201.1834. Bibcode:2012arXiv1201.1834N. Г-Н 3074799.


внешние ссылки