WikiDer > Однолистная функция

Univalent function

В математика, в ветке комплексный анализ, а голоморфная функция на открытое подмножество из комплексная плоскость называется однозначный если это инъективный.[1]

Примеры

Рассмотрим приложение отображение открытого единичный диск себе такой, что

У нас есть это однозначно, когда .

Основные свойства

Можно доказать, что если и два открытых связаны наборы в комплексной плоскости, и

- однолистная функция такая, что (то есть, является сюръективный), то производная от никогда не равно нулю, является обратимый, и его обратное также голоморфен. Более того, у одного Правило цепи

для всех в

Сравнение с реальными функциями

За настоящий аналитические функциив отличие от комплексных аналитических (т. е. голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

данный ƒ(Икс) = Икс3. Эта функция явно инъективна, но ее производная равна 0 при Икс = 0, и обратный ему не является аналитическим и даже не дифференцируемым на всем интервале (−1, 1). Следовательно, если мы расширим область до открытого подмножества грамм комплексного плана он не должен быть инъективным; и это так, поскольку (например) ж(εω) = ж(ε) (где ω - примитивный кубический корень из единицы а ε - положительное действительное число, меньшее, чем радиус грамм как окрестность 0).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Джон Б. Конвей (1996) Функции одной комплексной переменной II, глава 14: Конформная эквивалентность для односвязных регионов, стр. 32, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94460-5. Определение 1.12: «Функция на открытом множестве однозначный если он аналитический и однозначный ».

Эта статья включает материал из однолистной аналитической функции по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.