WikiDer > Матрица Вандермонда

В линейная алгебра, а Матрица Вандермонда, названный в честь Александр-Теофиль Вандермонд, это матрица с условиями геометрическая прогрессия в каждой строке, т.е. м × п матрица

${ Displaystyle V = { begin {bmatrix} 1 & alpha _ {1} & alpha _ {1} ^ {2} & dots & alpha _ {1} ^ {n-1} 1 & alpha _ {2} & alpha _ {2} ^ {2} & dots & alpha _ {2} ^ {n-1} 1 & alpha _ {3} & alpha _ {3} ^ {2 } & точки & альфа _ {3} ^ {n-1} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & alpha _ {m} & alpha _ {m} ^ {2} & dots & alpha _ {m} ^ {n-1} end {bmatrix}},}$

или же

${ Displaystyle V_ {я, j} = альфа _ {я} ^ {j-1} ,}$

по всем показателям я и j.^[1] Идентичный термин матрица Вандермонда использовался для транспонировать вышеупомянутой матрицы Макона и Шпицбарта (1958). Матрица Вандермонда, используемая для матрицы дискретного преобразования Фурье^[2] удовлетворяет обоим определениям.

В детерминант квадратной матрицы Вандермонда (где м = п) можно выразить как

${ displaystyle det (V) = prod _ {1 leq i$

Это называется Определитель Вандермонда или же Полином Вандермонда. Он ненулевой тогда и только тогда, когда все ${ displaystyle alpha _ {я}}$ различны.

Определитель Вандермонда иногда называли дискриминант, хотя в настоящее время дискриминант полинома есть квадрат определителя Вандермонда корни полинома. Определитель Вандермонда - это переменная форма в ${ displaystyle alpha _ {я}}$, что означает обмен двух ${ displaystyle alpha _ {я}}$ меняет знак, переставляя ${ displaystyle alpha _ {я}}$ по даже перестановка не меняет значения определителя. Таким образом, это зависит от выбора заказа для ${ displaystyle alpha _ {я}}$, а его квадрат, дискриминант, не зависит ни от какого порядка, а это означает, что Теория Галуа, что дискриминант полиномиальная функция коэффициентов многочлена, имеющего ${ displaystyle alpha _ {я}}$ как корни.

Доказательства

Основное свойство квадратной матрицы Вандермонда

${ displaystyle V = { begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & dots & x_ {1} ^ {n-1} 1 & x_ {2} & x_ {2} ^ {2} & dots & x_ {2} ^ {n-1} 1 & x_ {3} & x_ {3} ^ {2} & dots & x_ {3} ^ {n-1} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & dots & x_ {n} ^ {n-1} end {bmatrix}}}$

в том, что его определитель имеет простой вид

${ displaystyle det (V) = prod _ {1 leq i$

Ниже приведены три доказательства этого равенства. Первый использует полиномиальные свойства, особенно уникальное свойство факторизации из многомерные полиномы. Хотя концептуально простой, он включает в себя неэлементарные концепции абстрактная алгебра. Второе доказательство не требует явных вычислений, но включает в себя концепции определитель линейная карта и изменение основы. Он также предоставляет структуру LU разложение матрицы Вандермонда. Третий - более элементарный и более сложный, с использованием только элементарные операции со строками и столбцами.

Использование полиномиальных свойств

Посредством Формула Лейбница, det (V) является полиномом от ${ displaystyle x_ {i},}$ с целыми коэффициентами. Все записи я-й столбец имеет общая степень я – 1. Таким образом, снова по формуле Лейбница, все члены определителя имеют полную степень

${ displaystyle 0 + 1 + 2 + cdots + (n-1) = { frac {n (n-1)} {2}};}$

(то есть определитель является однородный многочлен этой степени).

Если для я ≠ j, один заменяет ${ displaystyle x_ {i}}$ за ${ displaystyle x_ {j}}$, получается матрица с двумя равными строками, которая, таким образом, имеет нулевой определитель. Таким образом, факторная теорема, ${ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ является делителем det (V). Посредством уникальное свойство факторизации из многомерные полиномы, продукт всех ${ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ разделяет det (V), то есть

${ Displaystyle Det (V) = Q prod _ {1 leq я$

куда Q является многочленом. Как продукт всех ${ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ и det (V) иметь такую ​​же степень ${ Displaystyle п (п-1) / 2,}$ многочлен Q фактически является константой. Эта константа равна единице, потому что произведение диагональных элементов V является ${ displaystyle x_ {2} x_ {3} ^ {2} cdots x_ {n} ^ {n-1},}$который также является одночлен который получается путем взятия первого члена всех множителей в ${ displaystyle textstyle prod _ {1 leq i$ Это доказывает, что

${ displaystyle det (V) = prod _ {1 leq i$

Использование линейных карт

Позволять F быть поле содержащий все ${ displaystyle x_ {i},}$ и ${ displaystyle P_ {n}}$ то F векторное пространство многочленов степени меньше п с коэффициентами в F. Позволять

${ displaystyle varphi: P_ {n} to F ^ {n}}$

быть линейная карта определяется

${ displaystyle p (x) mapsto (p (x_ {1}), ldots, p (x_ {n})).}$

Матрица Вандермонда - это матрица ${ displaystyle varphi}$ с уважением к канонические основы из ${ displaystyle P_ {n}}$ и ${ displaystyle F ^ {n}.}$

Смена основы из ${ displaystyle P_ {n}}$ сводится к умножению матрицы Вандермонда на матрицу замены базиса M (справа). Это не меняет определителя, если определитель M является 1.

Полиномы ${ displaystyle 1, x-x_ {1}, (x-x_ {1}) (x-x_ {2}), ldots, (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) cdots (x-x_ {n-1})}$ находятся моник соответствующих степеней 0, 1, ..., п – 1. Их матрица на мономиальный базис является верхнетреугольная матрица U (если одночлены упорядочены в возрастающей степени), причем все диагональные элементы равны единице. Таким образом, эта матрица представляет собой матрицу изменения базиса детерминантной. Матрица ${ displaystyle varphi}$ на этой новой основе

${ displaystyle L = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & ldots & 0 1 & x_ {2} -x_ {1} & 0 & ldots & 0 1 & x_ {3} -x_ {1} & (x_ {3} -x_ { 1}) (x_ {3} -x_ {2}) & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & x_ {n} -x_ {1} & (x_ {n } -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) & ldots & (x_ {n} -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) cdots (x_ {n } -x_ {n-1}) end {bmatrix}}.}$

Таким образом, определитель Вандермонда равен определителю этой матрицы, который является произведением ее диагональных элементов.

Это доказывает желаемое равенство. Более того, получается LU разложение из V в качестве

${ displaystyle V = LU ^ {- 1}.}$

По строкам и столбцам

Это второе доказательство основано на том факте, что, если добавить к строке (или столбцу) матрицы произведение скаляром другой строки (или столбца), определитель остается неизменным.

Если вычесть первую строку V от всех остальных строк определитель не меняется, и новая матрица имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & mathbf {L} mathbf {0} & A end {bmatrix}},}$

куда ${ displaystyle mathbf {L}}$ матрица-строка, ${ displaystyle mathbf {0}}$ столбец нулей, а А это квадратная матрица, так что

${ Displaystyle Det (A) = Det (V).}$

Вступление (я – 1)й ряд и (j – 1)-й столбец А (это яй ряд и j-й столбец всей матрицы)

${ displaystyle x_ {i} ^ {j-1} -x_ {1} ^ {j-1} = (x_ {i} -x_ {1}) sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k}.}$

Разделение ${ displaystyle x_ {i} -x_ {1}}$ от (я – 1)й ряд А, за я = 2, ..., п, получается матрица B такой, что

${ Displaystyle Det (V) = Det (A) = Det (B) prod _ {i = 2} ^ {n} (x_ {i} -x_ {1}).}$

Коэффициент (я – 1)й ряд и (j – 1)-й столбец B является

${ displaystyle b_ {i, j} = sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k} = x_ {i} ^ {j-2} + x_ {1} b_ {i, j-1},}$

за я = 2, ..., n, и установка ${ displaystyle b_ {i, 1} = 1.}$

Таким образом, вычитая, для j убегая от п до 2, (j – 2)-й столбец B умножается на ${ displaystyle x_ {1}}$ от (j – 1)-й столбец получает (п – 1) × (п – 1) Матрица Вандермонда в ${ displaystyle x_ {2}, ldots, x_ {n},}$ который имеет тот же определитель, что и B. Итерируя этот процесс на этой меньшей матрице Вандермонда, в конечном итоге получаем желаемое выражение det (V) как продукт ${ displaystyle x_ {j} -x_ {i}.}$

Результирующие свойства

An м × п прямоугольная матрица Вандермонда такая, что м ≤ п имеет максимум классифицировать м если и только если все Икс_я различны.

An м × п прямоугольная матрица Вандермонда такая, что м ≥ п имеет максимум классифицировать п если и только если есть п из Икс_я которые различны.

Квадратная матрица Вандермонда есть обратимый если и только если Икс_я различны. Известна явная формула обратного.^[3][4][5]

Приложения

Матрица Вандермонда оценивает многочлен в наборе точек; формально это матрица линейная карта который отображает вектор коэффициентов полинома в вектор значений полинома в значениях, появляющихся в матрице Вандермонда. Необращение в нуль определителя Вандермонда для различных точек ${ displaystyle alpha _ {я}}$ показывает, что для различных точек отображение коэффициентов в значения в этих точках является взаимно однозначным соответствием, и, таким образом, проблема полиномиальной интерполяции разрешима с помощью единственного решения; этот результат называется теорема о неразрывности, и является частным случаем Китайская теорема об остатках для многочленов.

Это может быть полезно в полиномиальная интерполяция, поскольку обращение матрицы Вандермонда позволяет выразить коэффициенты полинома через ${ displaystyle alpha _ {я}}$^[6] и значения полинома на ${ displaystyle alpha _ {я}}$Однако интерполяционный полином, как правило, легче вычислить с помощью Формула интерполяции Лагранжа,^[7] который может быть использован для вывода формулы для обратной матрицы Вандермонда.^[8]

Определитель Вандермонда используется в теория представлений симметрической группы.^[9]

Когда ценности ${ displaystyle alpha _ {k}}$ принадлежат к конечное поле, то определитель Вандермонда также называют Определитель Мура и имеет специфические свойства, которые используются, например, в теории Код BCH и Исправление ошибок Рида – Соломона коды.

В дискретное преобразование Фурье определяется конкретной матрицей Вандермонда, Матрица ДПФ, где числа α_я выбраны быть корни единства.

В Волновая функция Лафлина с коэффициентом заполнения один (появляется в Квантовый эффект Холла) по формуле для определителя Вандермонда можно видеть как Определитель Слейтера. Это уже неверно для факторов заполнения, отличных от единицы, т.е. дробный квантовый эффект Холла.

Это матрица дизайна из полиномиальная регрессия.

Конфлюэнтные матрицы Вандермонда

Как описано ранее, матрица Вандермонда описывает линейную алгебру проблема интерполяции нахождения коэффициентов многочлена ${ displaystyle p (x)}$ степени ${ displaystyle n-1}$ на основе ценностей ${ Displaystyle р ( альфа _ {1}), ..., р ( альфа _ {п})}$, куда ${ displaystyle alpha _ {1}, ..., alpha _ {n}}$ находятся отчетливый точки. Если ${ displaystyle alpha _ {я}}$ не различны, то эта задача не имеет единственного решения (что отражается в сингулярности соответствующей матрицы Вандермонда). Однако, если мы дадим значения производных в повторяющихся точках, то проблема может иметь единственное решение. Например, проблема

${ displaystyle { begin {cases} p (0) = a p '(0) = b p (1) = c end {cases}}}$

куда ${ displaystyle p}$ является многочленом степени ${ displaystyle leq 2}$, имеет уникальное решение для всех ${ displaystyle a, b, c}$. В общем, предположим, что ${ Displaystyle альфа _ {1}, альфа _ {2}, ..., альфа _ {п}}$ являются (не обязательно различными) числами, и предположим для простоты записи, что одинаковые значения входят в непрерывную последовательность в списке. То есть

${ displaystyle alpha _ {1} = cdots = alpha _ {m_ {1}}, alpha _ {m_ {1} +1} = cdots = alpha _ {m_ {2}}, ldots , alpha _ {m_ {k-1} +1} = cdots = alpha _ {m_ {k}}}$

куда ${ displaystyle m_ {k} = n,}$ ${ displaystyle m_ {1}$ и ${ Displaystyle альфа _ {м_ {1}}, ldots, альфа _ {м_ {к}}}$ различны. Тогда соответствующая задача интерполяции есть

${ displaystyle { begin {case} p ( alpha _ {1}) = beta _ {1}, & p '( alpha _ {1}) = beta _ {2}, & ldots, & p ^ {(m_ {1} -1)} ( alpha _ {1}) = beta _ {m_ {1}} p ( alpha _ {m_ {1} +1}) = beta _ {m_ {1} +1}, & p '( alpha _ {m_ {1} +1}) = beta _ {m_ {1} +2}, & ldots, & p ^ {(m_ {2} -m_ { 1} -1)} ( alpha _ {m_ {2}}) = beta _ {m_ {2}} qquad vdots p ( alpha _ {m_ {k-1} +1} ) = beta _ {m_ {k-1} +1}, & p '( alpha _ {m_ {k-1} +2}) = beta _ {m_ {k-1} +2}, & ldots, & p ^ {(m_ {k} -m_ {k-1} -1)} ( alpha _ {m_ {k}}) = beta _ {m_ {k}} end {cases}}}$

И соответствующая матрица для этой задачи называется конфлюэнтные матрицы Вандермонда. В нашем случае (который является общим, вплоть до перестановки строк матрицы) формула для него задается следующим образом: если ${ Displaystyle 1 Leq я, J Leq п}$, тогда ${ Displaystyle м _ { ell} <я leq m _ { ell +1}}$ для некоторых (уникальных) ${ displaystyle 0 leq ell leq k-1}$ (мы считаем ${ displaystyle m_ {0} = 0}$). Тогда у нас есть

${ Displaystyle V_ {я, j} = { begin {case} 0, & { text {if}} j$

Это обобщение матрицы Вандермонда делает ее неособый (такое, что существует единственное решение системы уравнений) при сохранении большинства свойств матрицы Вандермонда. Его строки являются производными (некоторого порядка) исходных строк Вандермонда.

Другой способ получить эту формулу - позволить некоторым из ${ displaystyle alpha _ {я}}$идут произвольно близко друг к другу. Например, если ${ Displaystyle альфа _ {1} = альфа _ {2}}$, затем позволяя ${ displaystyle alpha _ {2} to alpha _ {1}}$ в исходной матрице Вандермонда разница между первой и второй строками дает соответствующую строку в конфлюэнтной матрице Вандермонда. Это позволяет нам связать обобщенную задачу интерполяции (заданное значение и производные в точке) с исходным случаем, когда все точки различны: ${ Displaystyle р ( альфа), п '( альфа)}$ похоже на то, что дают ${ Displaystyle р ( альфа), р ( альфа + varepsilon)}$ куда ${ displaystyle varepsilon}$ очень маленький.

Смотрите также

• Полином Шура - обобщение
• Альтернантная матрица
• Полином Лагранжа
• Вронскиан
• Список матриц
• Определитель Мура над конечным полем
• Формулы Виета

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Икарт, Бернард (2013), "Случай математической эпонимии: определитель Вандермонда", Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv:1204.4716, Bibcode:2012arXiv1204.4716Y.

внешняя ссылка

• Матрица Вандермонда в ProofWiki