WikiDer > Личность Воганса - Википедия

В математике и аналитическая теория чисел, Личность Воана является личность найден Р. К. Воан (1977), который можно использовать для упрощения Виноградовработает над тригонометрические суммы. Его можно использовать для оценки сумматорных функций вида

${ Displaystyle сумма _ {п Leq N} е (п) лямбда (п)}$

куда ж есть некоторые арифметическая функция натуральных чисел п, значения которых в приложениях часто являются корнями из единицы, а Λ - функция фон Мангольдта.

Порядок применения метода

Мотивация построения личности Воаном кратко обсуждается в начале 24 главы Давенпорта. На данный момент мы пропустим большую часть технических деталей, мотивирующих идентичность и ее использование в приложениях, и вместо этого сосредоточимся на настройке ее построения по частям. Следуя ссылке, мы построим четыре различные суммы на основе разложения логарифмическая производная из Дзета-функция Римана с точки зрения функций, которые являются частичными Серия Дирихле соответственно усеченный на верхних границах ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$, соответственно. Точнее, определим ${ Displaystyle F (s) = сумма _ {m leq U} Lambda (m) m ^ {- s}}$ и ${ Displaystyle G (s) = сумма _ {d leq V} mu (d) d ^ {- s}}$, что приводит нас к точному тождеству, что

${ Displaystyle - { гидроразрыва { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} = F (s) - zeta (s) F (s) G (s) - zeta ^ { prime} (s) G (s) + left (- { frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} - F (s) right) (1- zeta (s) G (s)).}$

Это последнее расширение подразумевает, что мы можем написать

${ Displaystyle Lambda (п) = а_ {1} (п) + а_ {2} (п) + а_ {3} (п) + а_ {4} (п),}$

где функции компонентов определены как

${ displaystyle { begin {align} a_ {1} (n) &: = { Biggl {} { begin {matrix} Lambda (n), & { text {if}} n leq U; 0, & { text {if}} n> U end {matrix}} a_ {2} (n) &: = - sum _ { stackrel {mdr = n} { stackrel {m leq U} {d leq V}}} Lambda (m) mu (d) a_ {3} (n) &: = sum _ { stackrel {hd = n} {d leq V }} mu (d) log (h) a_ {4} (n) &: = - sum _ { stackrel {mk = n} { stackrel {m> U} {k> 1}} } Lambda (m) left ( sum _ { stackrel {d | k} {d leq V}} mu (d) right). End {выравнивается}}}$

Затем мы определяем соответствующие сумматорные функции для ${ Displaystyle 1 Leq я Leq 4}$ быть

${ Displaystyle S_ {я} (N): = сумма _ {п Leq N} е (п) а_ {я} (п),}$

так что мы можем написать

${ Displaystyle сумма _ {п Leq N} е (п) Лямбда (п) = S_ {1} (N) + S_ {2} (N) + S_ {3} (N) + S_ {4} (N).}$

Наконец, в заключение многостраничного обсуждения технических и иногда деликатных оценок этих сумм,^[1] получаем следующий вид Личность Воана когда мы предполагаем, что ${ Displaystyle | е (п) | leq 1, forall п}$, ${ displaystyle U, V geq 2}$, и ${ Displaystyle UV leq N}$:

${ Displaystyle сумма _ {п Leq N} е (п) Лямбда (п) ll U + ( log N) раз макс _ {ш} влево | сумма _ {ш Leq г Leq { frac {N} {t}}} f (rt) right | + { sqrt {N}} ( log N) ^ {3} times max _ {U leq M leq N / V } max _ {V leq j leq N / M} left ( sum _ {V$

Следует отметить, что в некоторых случаях более точные оценки могут быть получены из тождества Вона, рассматривая компонентную сумму ${ displaystyle S_ {2}}$ более осторожно, расширив его в виде

${ displaystyle S_ {2} = sum _ {t leq UV} longmapsto sum _ {t leq U} + sum _ {U$

Оптимальность верхней границы, полученной с применением тождества Воана, по-видимому, зависит от приложения в отношении лучших функций. ${ Displaystyle U = f_ {U} (N)}$ и ${ Displaystyle V = f_ {V} (N)}$ мы можем выбрать ввод в уравнение (V1). См. Приложения, цитируемые в следующем разделе, где приведены конкретные примеры, возникающие в различных контекстах, соответственно рассматриваемых несколькими авторами.

Приложения

• Личность Воана использовалась для упрощения доказательства Теорема Бомбьери – Виноградова. и учиться Суммы Куммера (см. ссылки и внешние ссылки ниже).
• В главе 25 Давенпорта одним из применений личности Воана является оценка важного, связанного с праймом экспоненциальная сумма из Виноградов определяется

${ Displaystyle S ( альфа): = сумма _ {n Leq N} Lambda (n) e left (n alpha right).}$

В частности, мы получаем асимптотическую оценку сверху для этих сумм (обычно вычисляемых при иррациональный ${ Displaystyle альфа в mathbb {R} setminus mathbb {Q}}$), рациональные приближения которых удовлетворяют

${ displaystyle left | alpha - { frac {a} {q}} right | leq { frac {1} {q ^ {2}}}, (a, q) = 1,}$

формы

${ displaystyle S ( alpha) ll left ({ frac {N} { sqrt {q}}} + N ^ {4/5} + { sqrt {Nq}} right) ( log N ) ^ {4}.}$

Аргумент в пользу этой оценки следует из тождества Воана, доказывая с помощью несколько замысловатого аргумента,

${ displaystyle S ( alpha) ll left (UV + q + { frac {N} { sqrt {U}}} + { frac {N} { sqrt {V}}} + { frac { N} { sqrt {q}}} + { sqrt {Nq}} right) ( log (qN)) ^ {4},}$

а затем вывести первую формулу выше в нетривиальных случаях, когда ${ displaystyle q leq N}$ и с ${ Displaystyle U = V = N ^ {2/5}}$.

• Еще одно применение личности Воана можно найти в главе 26 Давенпорта, где этот метод используется для получения оценок сумм (экспоненциальные суммы) из три простых числа.
• Примеры идентичности Воана на практике приведены в следующих ссылках / цитатах в этот информативный пост:.^[2][3][4][5]

Обобщения

Личность Воана была обобщена Хит-Браун (1982).

Примечания

Рекомендации

• Давенпорт, Гарольд. Теория мультипликативных чисел (Третье изд.). Нью-Йорк: Тексты для выпускников Springer по математике. ISBN 0-387-95097-4.
• Грэм, С. (2001) [1994], "Личность Воана", Энциклопедия математики, EMS Press
• Хит-Браун, Д. (1982), "Простые числа через короткие интервалы и обобщенное тождество Вона", Может. J. Math., 34 (6): 1365–1377, Дои:10.4153 / CJM-1982-095-9, МИСТЕР 0678676
• Воан, Р. (1977), «Тригонометрические испытания на премьерах номеров», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A, 285: 981–983, МИСТЕР 0498434

внешняя ссылка

• Proof Wiki о личности Воана
• Математические заметки Джони (очень подробное изложение)
• Энциклопедия математики
• Блог Терри Тао о большом сите и теореме Бомбьери-Виноградова