WikiDer > Объемная энтропия

В объемная энтропия асимптотика инвариантный из компактный Риманово многообразие который измеряет экспоненциальную скорость роста объема метрические шары в его универсальный чехол. Это понятие тесно связано с другими понятиями энтропия нашел в динамические системы и играет важную роль в дифференциальная геометрия и геометрическая теория групп. Если многообразие искривлено неположительно, то его объемная энтропия совпадает с топологическая энтропия из геодезический поток. В дифференциальной геометрии значительный интерес представляет поиск римановой метрики на заданном гладкое многообразие который минимизирует объемную энтропию, с локально симметричные пространства формируя базовый класс примеров.

Определение

Позволять (M, грамм) - компактное риманово многообразие с универсальный чехол ${displaystyle {ilde {M}}.}$ Выберите точку ${displaystyle {ilde {x}} _ {0} in {ilde {M}}}$.

В объемная энтропия (или асимптотический рост объема) ${displaystyle h = h (M, g)}$ определяется как предел

${displaystyle h (M, g) = lim _ {Rightarrow + infty} {frac {log left (operatorname {vol} B (R) ight)} {R}},}$

куда B(р) - шар радиуса р в ${displaystyle {ilde {M}}}$ сосредоточен на ${displaystyle {ilde {x}} _ {0}}$ и объем является римановым объем в универсальной накрытии с естественной римановой метрикой.

А. Маннинг доказал, что предел существует и не зависит от выбора базовой точки. Этот асимптотический инвариант описывает экспоненциальную скорость роста объема шаров в универсальной оболочке в зависимости от радиуса.

Характеристики

• Объемная энтропия час всегда ограничена сверху топологической энтропией час_верх геодезического потока на M. Более того, если M имеет неположительную кривизну сечения, то час = час_верх. Эти результаты получены благодаря Мэннингу.
• В более общем смысле объемная энтропия равна топологической энтропии при более слабом предположении, что M - замкнутое риманово многообразие без сопряженные точки (Фрейре и Манье).
• Локально-симметричные пространства минимизировать энтропию, если задан объем. Это следствие очень общего результата Бессона, Куртуа и Галло (из которого также следует Жесткость Мостова и его различные обобщения, сделанные Корлеттом, Сиу и Терстон):

Позволять Икс и Y быть компактно ориентированным связным п-мерные гладкие многообразия и ж: Y → Икс непрерывное отображение ненулевых степень. Если грамм₀ является локально симметричной римановой метрикой отрицательной кривизны на Икс и грамм - любая риманова метрика на Y тогда

${displaystyle h ^ {n} (Y, g) operatorname {vol} (Y, g) geq | operatorname {deg} (f) | h ^ {n} (X, g_ {0}) operatorname {vol} (X , g_ {0}),}$

и для п ≥ 3 равенство имеет место тогда и только тогда, когда (Y,грамм) локально симметричен того же типа, что и (Икс,грамм₀) и ж гомотопно гомотетическому покрытию (Y,грамм) → (Икс,грамм₀).

Применение в дифференциальной геометрии поверхностей

Энтропийное неравенство Катока недавно был использован для получения точной асимптотической оценки для систолический соотношение поверхностей большого рода, см. систолы поверхностей.

Рекомендации

• Бессон, Г., Куртуа, Г., Галло, С. Энтропии и ригидность пространств, локализованных, симметричных, отрицательных курбюр. (Французский) [Энтропия и жесткость локально симметричных пространств со строго отрицательной кривизной] Геом. Функц. Анальный. 5 (1995), нет. 5, 731–799
• Каток А .: Энтропия и замкнутые геодезические, Эрг. Чт. Дин. Sys. 2 (1983), 339–365
• Каток, А .; Хассельблатт, Б .: Введение в современную теорию динамических систем. С дополнительной главой Катока и Л. Мендосы. Энциклопедия математики и ее приложений, 54. Cambridge University Press, Кембридж, 1995
• Кац, М .; Сабурау, С .: Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы. Эрг. Чт. Дин. Sys. 25 (2005), 1209–1220
• Мэннинг, А .: Топологическая энтропия для геодезических потоков. Анна. математики. (2) 110 (1979), нет. 3, 567–573