WikiDer > Уравнение фон Ферстера

Von Foerster equation

В Уравнение Маккендрика – фон Ферстера является линейным первого порядка уравнение в частных производных встречаются в нескольких областях математическая биология - например, демография и распространение клеток моделирование; он применяется, когда возрастная структура является важной характеристикой математическая модель.[1] Впервые он был представлен Андерсон Грей МакКендрик в 1926 г. как детерминированный предел решетчатых моделей, примененных к эпидемиологии, а впоследствии независимо в 1959 г. биофизика профессор Хайнц фон Ферстер для описания клеточных циклов.

Математическая формула

Математическая формула может быть получена из первых принципов. Он гласит:

где плотность населения п(т,а) является функцией возраста а и время т, и м(а) - функция смерти.

Когда м(а) = 0 имеем:[1]

Это связано с тем, что население стареет, и это единственный факт, который влияет на изменение плотности населения; отрицательный знак показывает, что время течет только в одном направлении, что нет рождения и население скоро вымрет.

Вывод

Предположим, что для изменения времени и изменение возраста , плотность населения составляет:

То есть в течение периода времени плотность населения уменьшается на процент . Принимая Серия Тейлор расширение на заказ дает нам, что:
Мы знаем это , поскольку изменение возраста со временем равно 1. Следовательно, после сбора терминов мы должны иметь следующее:

Аналитическое решение

Уравнение фон Ферстера - это уравнение переноса; ее можно решить с помощью метода характеристик.[1] Другой способ - решение подобия; и третий - численный подход, такой как конечные разности.

Чтобы получить решение, необходимо добавить следующие граничные условия:

в котором говорится, что первоначальные рождения должны быть сохранены (в противном случае см. уравнение Шарпа – Лотки – Маккендрика), и что:

где указано, что необходимо указать начальную популяцию; тогда он будет развиваться согласно уравнению в частных производных.

Подобные уравнения

У Себастьяна Аница, Виорела Арнауту, Винченцо Капассо. Введение в проблемы оптимального управления в науках о жизни и экономике (Birkhäuser. 2011), это уравнение появляется как частный случай Уравнение Шарпа – Лотки – Маккендрика; в последнем есть приток, и математика основана на производная по направлению. Уравнение Маккендрика широко используется в контексте клеточной биологии как хороший подход к моделированию клеточного цикла эукариот. [2].

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c МЮРРЕЙ, J.D. Математическая биология: введение. Третье издание. Междисциплинарная прикладная математика. Математическая биология. Весна: 2002 г.
  2. ^ Гаваньин, Энрико (14 октября 018 г.). «Скорость вторжения моделей миграции клеток с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. Дои:10.1016 / j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568.