WikiDer > Теорема фон Штаудта – Клаузена

Von Staudt–Clausen theorem

В теория чисел, то Теорема фон Штаудта – Клаузена это результат, определяющий дробная часть из Числа Бернулли, найденные независимоКарл фон Штаудт (1840) и Томас Клаузен (1840).

В частности, если п положительное целое число, и мы добавляем 1 /п к числу Бернулли B2п для каждого основной п такой, что п - 1 делит 2п, получаем целое число, т.е.

Этот факт сразу позволяет охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли B2п как произведение всех простых чисел п такой, что п - 1 делит 2п; следовательно, знаменатели без квадратов и делится на 6.

Эти знаменатели

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (последовательность A002445 в OEIS).

Доказательство

Доказательство теоремы фон Штаудта – Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли:

и как следствие:

куда являются Числа Стирлинга второго рода.

Кроме того, необходимы следующие леммы:
Тогда пусть p - простое число,
1. Если p-1 делит 2n тогда,

2. Если p-1 не делит 2n тогда,

Доказательство (1) и (2): Один из Маленькая теорема Ферма,

за .
Если p-1 делит 2n то есть,

за .
После этого каждый имеет

откуда (1) следует немедленно.
Если p-1 не делит 2n то после теоремы Ферма имеем

Если позволить (Наибольшая целочисленная функция) то после итерации

за и .
После этого каждый имеет

Лемма (2) теперь следует из вышеизложенного и того факта, что S(п,j) = 0 для j>п.
(3). Легко сделать вывод, что для a> 2 и b> 2, ab делит (ab-1)!.
(4). Числа Стирлинга второго рода - целые числа.

Доказательство теоремы: Теперь мы готовы доказать теорему Фон-Штаудта Клаузена,
Если j + 1 составное и j> 3 то из (3) j + 1 делит j !.
Для j = 3

Если j + 1 простое, то воспользуемся (1) и (2) и если j + 1 составна, то воспользуемся (3) и (4) вывести:

куда является целым числом, что является теоремой Фон-Штаудта Клаузена.[1][2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Х. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.
  2. ^ Апостол Т.М., Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.
  • Клаузен, Томас (1840 г.), «Теорема», Astronomische Nachrichten, 17 (22): 351–352, Дои:10.1002 / asna.18400172204
  • Радо, Р. (1934), "Новое доказательство теоремы В. Штаудта", J. London Math. Soc., 9 (2): 85–88, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.2.85
  • фон Штаудт, гл. (1840 г.), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen Betreffend", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 21: 372–374, ISSN 0075-4102, ERAM 021.0672cj

внешняя ссылка