WikiDer > Подготовительная теорема Вейерштрасса

Weierstrass preparation theorem

В математика, то Подготовительная теорема Вейерштрасса инструмент для работы с аналитические функции из несколько сложных переменных, в заданной точке п. В нем говорится, что такая функция: вплоть до умножение на функцию, отличную от нуля в п, а многочлен в одной фиксированной переменной z, который моник, и чья коэффициенты членов более низкой степени являются аналитическими функциями от остальных переменных и нулем при п.

Также существует ряд вариантов теоремы, расширяющих идею факторизации в некоторых звенеть р в качестве ты·ш, куда ты это единица измерения и ш какой-то выдающийся Полином Вейерштрасса. Карл Сигель оспаривал приписывание теоремы Weierstrass, говоря, что это произошло под нынешним названием где-то в конце девятнадцатого века. Traités d'analyse без оправдания.

Комплексные аналитические функции

Для одной переменной локальная форма аналитической функции ж(z) около 0 zkчас(z) куда час(0) не 0, и k это порядок нуля ж при 0. Это результат, который обобщает подготовительная теорема. Выбираем одну переменную z, который мы можем считать первым, и записать наши комплексные переменные как (z, z2, ..., zп). Полином Вейерштрасса W(z) является

zk + граммk−1zk−1 + ... + грамм0

куда граммя(z2, ..., zп) является аналитическим и граммя(0, ..., 0) = 0.

Тогда теорема утверждает, что для аналитических функций ж, если

ж(0, ...,0) = 0,

и

ж(z, z2, ..., zп)

как степенной ряд есть термин, включающий только z, мы можем написать (локально около (0, ..., 0))

ж(z, z2, ..., zп) = W(z)час(z, z2, ..., zп)

с час аналитический и час(0, ..., 0) не 0, и W многочлен Вейерштрасса.

Отсюда сразу следует, что набор нулей ж, около (0, ..., 0), можно найти, фиксируя любые малые значения z2, ..., zп а затем решив уравнение W (z) = 0. Соответствующие значения z образуют ряд непрерывно меняющихся ветви, в количестве, равном степени W в z. Особенно ж не может иметь изолированного нуля.

Теорема о делении

Связанный результат - Теорема Вейерштрасса о делении, который гласит, что если ж и грамм являются аналитическими функциями, а грамм является полиномом Вейерштрасса степени N, то существует единственная пара час и j такой, что ж = gh + j, куда j является многочленом степени меньше, чем N. Фактически, многие авторы доказывают подготовку Вейерштрасса как следствие теоремы о делении. Также возможно доказать теорему о делении из подготовительной теоремы, так что эти две теоремы фактически эквивалентны.[1]

Приложения

Подготовительную теорему Вейерштрасса можно использовать, чтобы показать, что кольцо ростков аналитических функций в п переменных - это нётерово кольцо, которое также называют Базисная теорема Рюккерта.[2]

Гладкие функции

Есть более глубокая подготовительная теорема для гладкие функции, из-за Бернар Мальгранж, называется Теорема Мальгранжа о подготовке. Он также имеет связанную теорему о делении, названную в честь Джон Мэзер.

Формальный степенной ряд в полных локальных кольцах

Есть аналогичный результат, также называемый подготовительной теоремой Вейерштрасса, для кольца формальный степенной ряд над полные местные кольца А:[3] для любого степенного ряда так что не все находятся в максимальный идеал из А, есть уникальный единица измерения ты в и многочлен F формы с (так называемый выделенный многочлен) такой, что

С снова является полным локальным кольцом, результат может быть повторен и, следовательно, дает аналогичные результаты факторизации для формальных степенных рядов от нескольких переменных.

Например, это относится к кольцу целых чисел в p-адический поле. В этом случае теорема говорит, что степенной ряд ж(z) всегда можно однозначно разложить на множители как πп·ты(zп(z), куда ты(z) - единица в кольце степенных рядов, п(z) это выделенный многочлен (monic, с коэффициентами при невыводящих членах каждый в максимальном идеале), а π - фиксированная униформизатор.

Применение теоремы Вейерштрасса о приготовлении и делении для кольца (также называемый Алгебра Ивасавы) происходит в Теория Ивасавы при описании конечно порожденных модулей над этим кольцом.[4]

Алгебры Тейта

Существует также подготовительная теорема Вейертрасса для Алгебры Тейта

по полному неархимедово поле k.[5] Эти алгебры являются основными строительными блоками жесткая геометрия. Одним из приложений этой формы подготовительной теоремы Вейерштрасса является тот факт, что кольца находятся Нётерян.

Рекомендации

  1. ^ Грауэрт, Ганс; Реммерт, Райнхольд (1971), Analytische Stellenalgebren (на немецком языке), Springer, стр. 43, Дои:10.1007/978-3-642-65033-8, ISBN 978-3-642-65034-5
  2. ^ Эбелинг, Вольфганг (2007), Функции нескольких комплексных переменных и их особенности, Предложение 2.19: Американское математическое обществоCS1 maint: location (связь)
  3. ^ Николя Бурбаки (1972), Коммутативная алгебра, глава VII, §3, нет. 9, Предложение 6: ГерманнCS1 maint: location (связь)
  4. ^ Лоуренс Вашингтон (1982), Введение в круговые поля, Теорема 13.12: СпрингерCS1 maint: location (связь)
  5. ^ Босх, Зигфрид; Гюнцер, Ульрих; Реммерт, Райнхольд (1984), Неархимедов анализ, Главы 5.2.1, 5.2.2: SpringerCS1 maint: location (связь)