WikiDer > Границы Уэлча - Википедия
В математика, Границы Уэлча семья неравенство имеет отношение к проблеме равномерного распределения набора единиц векторов в векторное пространство. Границы являются важными инструментами при разработке и анализе определенных методов в телекоммуникации инженерное дело, особенно в теория кодирования. Границы были первоначально опубликованы в статье 1974 г. Л. Р. Велч.
Математическое утверждение
Если являются единичными векторами в , определять , куда это обычный внутренний продукт на . Тогда для :
Применимость
Если , то векторы может сформировать ортонормированный набор в . В этом случае, и границы пусты. Следовательно, интерпретация границ имеет смысл, только если . Это будет предполагаться в оставшейся части этой статьи.
Доказательство для k = 1
«Первая граница Уэлча», соответствующая , является наиболее часто используемым в приложениях. Его доказательство проводится в два этапа, каждый из которых зависит от более основного математического неравенства. Первый шаг вызывает Неравенство Коши – Шварца и начинается с рассмотрения Матрица Грама векторов ; т.е.
В след из равна сумме собственных значений. Поскольку классифицировать из самое большее , и это положительно полуопределенный матрица имеет самое большее положительный собственные значения все остальные собственные значения равны нулю. Запись ненулевых собственных значений в качестве с и применяя неравенство Коши-Шварца к скалярному произведению -вектор единиц с вектором, компоненты которого являются этими собственными значениями, дает
Площадь Норма Фробениуса (Норма Гильберта – Шмидта) удовлетворяет
Принимая это вместе с предыдущим неравенством, получаем
Потому что каждый имеет единицу длины, элементы на главной диагонали единица, поэтому его след . Так,
или же
Во второй части доказательства используется неравенство, охватывающее простое наблюдение, что среднее значение набора неотрицательных чисел не может быть больше наибольшего числа в наборе. В математической записи, если за , тогда
В предыдущем выражении неотрицательные слагаемые в сумме, наибольшее из которых . Так,
или же
что и есть неравенство, данное Велчем в случае, когда .
Достижение граничного равенства Уэлча
В некоторых телекоммуникационных приложениях желательно построить наборы векторов, которые удовлетворяют границам Велча с равенством. Было введено несколько методов для получения так называемого Граничное равенство Уэлча (WBE) наборов векторов для k = 1 граница.
Приведенное выше доказательство показывает, что два отдельных математических неравенства включаются в оценку Велча, когда . Неравенство Коши – Шварца выполняется с равенством, когда два задействованных вектора коллинеарны. Как это используется в приведенном выше доказательстве, это происходит, когда все ненулевые собственные значения матрицы Грама равны, что происходит именно тогда, когда векторы составляют плотная рамка за .
Другое неравенство в доказательстве удовлетворяется равенством тогда и только тогда, когда одинаково для любого выбора . В этом случае векторы равносторонний. Таким образом, эта граница Велча выполняется с равенством тогда и только тогда, когда набор векторов равносторонняя плотная рамка в .
Рекомендации
- Datta, S .; Howard, S.D .; Кокран, Д. (2012). «Геометрия границ Уэлча». Линейная алгебра и ее приложения. 437 (10): 2455–70. arXiv:0909.0206. Дои:10.1016 / j.laa.2012.05.036.
- Уэлч, Л. (Май 1974 г.). «Нижние границы максимальной взаимной корреляции сигналов». IEEE Transactions по теории информации. 20 (3): 397–9. Дои:10.1109 / TIT.1974.1055219.